高校数学:数列・等比数列の性質を用いた解法①

こんにちは。今回は等比数列の性質を用いた解法の紹介です。例題を解きながら書いておきます。それでは見ていきましょう。

等比数列の性質を知ろう

まず簡単な等比数列から見ていきます。
1,\ 2,\ 4,\ \cdots 32,\ 64,\ 128,\ \cdots
このとき, 等比数列の連続する3項には, 真ん中の数の2乗はその両隣の数の積になっているという決まりがあるんです。実際1, 2, 4では2^2=1\times4, また, 32, 64, 128でも64^2(4096)=32\times128(4096)になっています。
文字で置いて確認すると, 初項a, 公比rとすると,
a,\ ar,\ ar^2,\ \cdots
(ar)^2=a\times ar^2
となっています。
この性質を用いて問題を解いていきましょう。それでは例題です。
【例】数列2,\ x,\ 5x-12, \cdotsが等比数列であるとき, xの値を求めよ。
【解法】真ん中の数の2乗=真ん中の数の両隣の数の積で解いていきます。
x^2=2(5x-12)
x^2-10x+24=0
(x-4)(x-6)=0
x=4, 6\cdots(答)
ちなみに,
x=4のとき, 2, 4, 8, \cdots 公比2
x=6んとき, 2, 6, 18, \cdots 公比3

等比数列の性質
等比数列の連続する3項a_{n},\ a_{n+1},\ a_{n+2}には,
(a_{n+1})^2=a_n\times a_{n+2}
真ん中の数の2乗=真ん中の両隣の数の積
が成り立つ。

別解として公比が等しいという解法があります。
ar\div a=r,\ ar^2\div ar=r, つまり, \dfrac{ar}{a}=\dfrac{ar^2}{ar}を用いた解法です。
\dfrac{x}{2}=\dfrac{5x-12}{x}
x^2=10x-24
x^2-10x+24=0
以下略(上と同じのため)

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