高校数学:数列・等差数列の性質を用いた解法①

こんにちは。今回は等差数列の性質を用いた基本的な問題の解法を書いておきます。例題を解きながら見ていきましょう。

等差数列の性質を知ろう

まず簡単な等差数列を見ていきましょう。
1, 2, 3, \cdots, 16, 17, 18, \cdots
このとき, 1, 2, 3の2はその両隣にある2数の平均になっています。つまり, \dfrac{1+3}{2}=2です。
16, 17, 18でも同様に, 17はその両隣にある2数の平均になっています。\dfrac{16+18}{2}=17です。
これは言い換えると, 等差数列の連続する3項では, 真ん中の数の両隣の数の和が真ん中の数の2倍になっていることを意味します。
文字でおくとどうでしょう。
初項a, 公差dの等差数列を第1項から書くと,
a,\ a+d,\ a+2d,\ \cdots, a+d(n-2),\ a+d(n-1),\ a+dn,\ \cdots
確かに,
a+(a+2d)=2(a+d)
\{a+d(n-2)\}+(a+dn)=2\{a+d(n-1)\}
になっています。
そこで, 例題です。
【例】数列-4x+18,\ 3,\ x^2-4x, \cdotsが等差数列のとき, xの値を求めなさい。
【解法】 真ん中の数の両隣の数の和が真ん中の数の2倍になるという決まりに従って解きます。
(-4x+18)+(x^2-4x)=2\times3
x^2-8x+18=6
x^2-8x+12=0
(x-2)(x-6)=0
x=2, 6\cdots(答)
ちなみに
x=2のとき, 10,\ 3,\ -4,\ \cdots 公差-7
x=6のとき, -6,\ 3,\ 12,\ \cdots 公差9
になります。
このように, 等差数列の連続する3項の真ん中の数の両隣の数の和が真ん中の数の2倍になるということがつかめたら平易に解法に持っていけるでしょう。

等差数列の性質
等差数列の連続する3項a_{n},\ a_{n+1},\ a_{n+2}には,
a_n+a_{n+2}=2\times a_{n+1}
真ん中の両隣の数の和=真ん中の数の2倍
が成り立つ。

別解として, 等差数列なので, 公差が等しいとおいて解く解法があります。(こちらが好きな方はこちらをどうぞ)
3-(-4x+18)=(x^2-4x)-3
4x-15=x^2-4x-3
x^2-8x+12=0
以下略(上と同じのため)

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