高校数学:データ(分散と標準偏差)の公式

こんにちは。今回はデータの分散と標準偏差の公式について書いておきます。

平均\overline{x}

データx_1, x_2, x_3, \cdots x_nの平均を\overline{x}とすると,
\overline{x}=\dfrac{1}{n}\left(x_1+x_2+x_3+\cdots x_n\right)

偏差x_k-\overline{x}

データx_1, x_2, x_3, \cdots ,x_nの各数値と, データの平均\overline{x}との差。
x_1-\overline{x}, x_2-\overline{x}, x_3-\overline{x}, \cdots ,x_n-\overline{x}

分散s^2

分散s^2はデータの散らばり度合いを表すもので, 上の偏差の2乗の平均をとったものです。したがって,
s^2=\dfrac{1}{n}\left\{\left(x_1-\overline{x}\right)^2+\left(x_2-\overline{x}\right)^2+\left(x_3-\overline{x}\right)^2\cdots+\left(x_n-\overline{x}\right)^2\right\}
このようにして分散は得られます。
また, この右辺を展開すると,
\begin{array}{lll}s^2&=&\dfrac{1}{n}\left\{\left(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\right)-2 \overline{x}\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)+n\left(\overline{x}\right)^2\right\}\\&=& \underbrace{ \dfrac{1}{n}\left(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\right) }_{\LARGE{\overline{x^2}}}  -2 \overline{x}\cdot\underbrace{\dfrac{1}{n}\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)}_{\LARGE{\overline{x}}} +\left(\overline{x}\right)^2\\&=&\overline{x^2}-\left(\overline{x}\right)^2\end{array}
このように, 分散はx^2のデータの平均からxのデータの平均の2乗を引いても得られます。

標準偏差s

標準偏差sは分散の正の平方根になります。したがって,
s=\sqrt{\dfrac{1}{n}\left\{\left(x_1-\overline{x}\right)^2+\left(x_2-\overline{x}\right)^2+\left(x_3-\overline{x}\right)^2\cdots+\left(x_n-\overline{x}\right)^2\right\}}
または,
s=\sqrt{ \overline{x^2}-\left(\overline{x}\right)^2 }
で得られます。

これらはデータの分野では頻出ですのでもれなく覚えておきたいですね。

符号決定
\bulletデータx_1, x_2, x_3, \cdots x_nの平均を\overline{x}とすると,
\overline{x}=\dfrac{1}{n}\left(x_1+x_2+x_3+\cdots x_n\right)
\bullet分散s^2
s^2=\dfrac{1}{n}\left\{\left(x_1-\overline{x}\right)^2+\left(x_2-\overline{x}\right)^2+\left(x_3-\overline{x}\right)^2\cdots+\left(x_n-\overline{x}\right)^2\right\}
または,
s^2=\overline{x^2}-\left(\overline{x}\right)^2
\bullet標準偏差s
s=\sqrt{\dfrac{1}{n}\left\{\left(x_1-\overline{x}\right)^2+\left(x_2-\overline{x}\right)^2+\left(x_3-\overline{x}\right)^2\cdots+\left(x_n-\overline{x}\right)^2\right\}}
または,
s=\sqrt{ \overline{x^2}-\left(\overline{x}\right)^2 }

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