高校数学：データ(分散と標準偏差)の公式

こんにちは。今回はデータの分散と標準偏差の公式について書いておきます。

平均 $\overline{x}$

データ $x_1, x_2, x_3, \cdots x_n$ の平均を $\overline{x}$ とすると,
$\overline{x}=\dfrac{1}{n}\left(x_1+x_2+x_3+\cdots x_n\right)$

偏差 $x_k-\overline{x}$

データ $x_1, x_2, x_3, \cdots ,x_n$ の各数値と, データの平均 $\overline{x}$ との差。
$x_1-\overline{x}, x_2-\overline{x}, x_3-\overline{x}, \cdots ,x_n-\overline{x}$

分散 $s^2$

分散 $s^2$ はデータの散らばり度合いを表すもので, 上の偏差の2乗の平均をとったものです。したがって,
$s^2=\dfrac{1}{n}\left\{\left(x_1-\overline{x}\right)^2+\left(x_2-\overline{x}\right)^2+\left(x_3-\overline{x}\right)^2\cdots+\left(x_n-\overline{x}\right)^2\right\}$
このようにして分散は得られます。
また, この右辺を展開すると,
$\begin{array}{lll}s^2&=&\dfrac{1}{n}\left\{\left(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\right)-2 \overline{x}\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)+n\left(\overline{x}\right)^2\right\}\\&=& \underbrace{ \dfrac{1}{n}\left(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\right) }_{\LARGE{\overline{x^2}}} -2 \overline{x}\cdot\underbrace{\dfrac{1}{n}\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)}_{\LARGE{\overline{x}}} +\left(\overline{x}\right)^2\\&=&\overline{x^2}-\left(\overline{x}\right)^2\end{array}$
このように, 分散は $x^2$ のデータの平均から $x$ のデータの平均の2乗を引いても得られます。

標準偏差 $s$

標準偏差 $s$ は分散の正の平方根になります。したがって,
$s=\sqrt{\dfrac{1}{n}\left\{\left(x_1-\overline{x}\right)^2+\left(x_2-\overline{x}\right)^2+\left(x_3-\overline{x}\right)^2\cdots+\left(x_n-\overline{x}\right)^2\right\}}$
または,
$s=\sqrt{ \overline{x^2}-\left(\overline{x}\right)^2 }$
で得られます。

これらはデータの分野では頻出ですのでもれなく覚えておきたいですね。

符号決定

$\bullet$ データ $x_1, x_2, x_3, \cdots x_n$ の平均を $\overline{x}$ とすると,
$\overline{x}=\dfrac{1}{n}\left(x_1+x_2+x_3+\cdots x_n\right)$
$\bullet$ 分散 $s^2$
$s^2=\dfrac{1}{n}\left\{\left(x_1-\overline{x}\right)^2+\left(x_2-\overline{x}\right)^2+\left(x_3-\overline{x}\right)^2\cdots+\left(x_n-\overline{x}\right)^2\right\}$
または,
$s^2=\overline{x^2}-\left(\overline{x}\right)^2$
$\bullet$ 標準偏差 $s$
$s=\sqrt{\dfrac{1}{n}\left\{\left(x_1-\overline{x}\right)^2+\left(x_2-\overline{x}\right)^2+\left(x_3-\overline{x}\right)^2\cdots+\left(x_n-\overline{x}\right)^2\right\}}$
または,
$s=\sqrt{ \overline{x^2}-\left(\overline{x}\right)^2 }$

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