TikZ:高校数学:二次関数の係数の符号決定などの解法

こんにちは。高校数学の定期テストでよく見かける二次関数の符号決定などの解法を書いておきます。例題を解きながら見ていきましょう。

グラフの概形を読み取ろう

【例】二次関数f(x)=ax^2+bx+cのグラフが次のように表されるとき, a,\ b,\ c,\ b^2-4ac,\ a+b+c,\ a-b+cの符号を求めなさい。

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【解法】a, c, b^2-4ac, a+b+c, a-b+c, bの順で求めていきますね。
a>0 理由はグラフが下に凸であるから。
c<0 理由はf(0)=cであり, グラフとy軸との交点(黒丸)がcの値になる。このとき, グラフはグラフはyの負の部分と交わっているから。
b^2-4ac>0 理由はグラフがx軸と共有点を2つもつため。このとき, 判別式D=b^2-4ac>0となるから。
a+b+c<0 理由はf(1)=a+b+cであり, x=1のとき, グラフは負の値を取っているため。
a-b+c>0 理由はf(-1)=a-b+cであり, x=-1のとき, グラフは正の値を取っているため。
b<0 最後にbは軸を考えて符号が決まります。面倒なので後回しにしました。
f(x)=ax^2+bx+cを平方完成して軸を求めると,
f(x)=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)-\dfrac{b^2}{4a}+cとなり,
軸はx=-\dfrac{b}{2a}となる。
この軸の符号はグラフから正\left(-\dfrac{b}{2a}>0\right)と分かります。a>0(正)であるから, bが負(b<0)でないと軸が正にならない。
以上このようにして求めます。
軸を求めるとき, 平方完成が面倒なら軸の式x=-\dfrac{b}{2a}を覚えておくことをお勧めします。

符号決定
グラフの概形をしっかり読み取って, 符号を決定しよう。
aはグラフが上に凸か下に凸かで符号が決まる。
cはグラフとy軸との交点の符号で決まる。
bの符号は軸で決めることが多いので, 軸の式x=-\dfrac{b}{2a}をしっかり覚えておこう。


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