高校数学：剰余の定理と整式の余りの問題の解法①

こんにちは。今回は剰余の定理と整式の余りについて書いておきます。例題を解きながら見ていきましょう。

例題を見ていこう

【例】整式 $P(x)$ を $x-2$ で割った余りが $-3$ , $x+3$ で割った余りが7であるとき, $P(x)$ を $(x-2)(x+3)$ で割ったときの余りを求めよ。

【解法】
$x-2$ で割った余りが $-3$ なので, $P(2)=-3$ となり, 同様に, $x+3$ で割った余りが7なので, $P(-3)=7$ となります。
そこで, $P(x)$ を $(x-2)(x+3)$ で割ったときの商を $Q(x)$ , 余りを $ax+b$ (余りの次数は割る式の次数より1つ下がります。)とすると,
$P(x)=(x-2)(x+3)Q(x)+ax+b$
とおけるので, $x=2, -3$ のとき, $P(x)$ がそれぞれ $-3, 7$ となることを利用すると,
$P(2)=2a+b=-3\cdots\maru{a}$
$P(-3)=-3a+b=7\cdots\maru{b}$
$\maru{a}$ , $\maru{b}$ を連立方程式で解くと,
$a=-2,\ b=1$
よって, 求める余りは, $-2x+1$

複雑そうに見えても同じ考え方

【例】整式 $P(x)$ を $x^2+x-2$ で割ると $-3x+7$ 余り, $x^2-4$ で割ると $-2x-1$ 余る。このとき, $P(x)$ を $x^2-3x+2$ で割ったときの余りを求めよ。

【解法】
$P(x)$ を $x^2+x-2$ で割ったときの商を $A(x)$ とすると,
$\begin{array}{lll}P(x)&=&(x^2+x-2)A(x)-3x+7\\&=&(x+2)(x-1)A(x)-3x+7\cdots\maru{1}\end{array}$
$P(x)$ を $x^2-4$ で割ったときの商を $B(x)$ とすると,
$\begin{array}{lll}P(x)&=&(x^2-4)B(x)-2x-1\\&=&(x+2)(x-2)B(x)-2x-1\cdots\maru{2}\end{array}$
$P(x)$ を $x^2-3x+2$ で割ったときの商を $C(x)$ , 余りを $ax+b$ とすると,
$\begin{array}{lll}P(x)&=&(x^2-3x+2)C(x)+ax+b\\&=&(x-1)(x-2)B(x)+ax+b\cdots\maru{3}\end{array}$
$\maru{1}$ から $P(1)=4$ , $\maru{2}$ から $P(2)=-5$ であるから,
これから $\maru{3}$ で,
$P(1)=a+b=4\cdots\maru{a}$
$P(2)=2a+b=-5\cdots\maru{b}$
$\maru{a}$ , $\maru{b}$ を連立方程式で解くと,
$a=-9, b=13$
よって求める余りは, $-9x+13$