高校数学：確率・〇回目で勝負がつく確率

こんにちは。今回は確率の問題で, 〇回目に勝負がつくという類の問題をやってみようと思います。例題を解きながら見ていきましょう。

勝負が付く一歩手前を考える

【例】テニスの試合で, A, Bの2人が最大で5回の試合をすることになり, どちらかが先に3勝した方が勝ちで, それ以降の試合はしないことに決めました。この試合においてAがBに勝つ確率は $\dfrac23$ で, BがAに勝つ確率は $\dfrac13$ であるとするとき, 5試合目でAが勝つ確率を求めよ。
【解法】まずこの手の問題でよくやる誤答を書いておきます。
※よくやる失敗
${}_{5} \mathrm{C}_3\cdot\left(\dfrac23\right)^3\cdot\left(\dfrac13\right)^2$
この式の作り方は間違いなんです。
なぜかと言うと, これには5試合目まで試合をする保証がないんです。この確率には1試合目から3試合目まで連続して勝って, 残り4試合目, 5試合目を負けるという, 5試合目までに勝負が決まってしまう場合も含んでいるからです。
これを回避するには, 4試合目までで勝負が決まっていないことが前提になります。
つまり, 4試合目までA, Bの勝敗は2勝2敗であることが大前提になるのです。そして, 5試合目でAが勝つことにすればいいんです。
したがって, 4試合目までの確率は,
${}_{4} \mathrm{C}_2\cdot\left(\dfrac23\right)^2\cdot\left(\dfrac13\right)^2$
これに5試合目にAが勝てばいいので,
求める確率は,
${}_{4} \mathrm{C}_2\cdot\left(\dfrac23\right)^2\cdot\left(\dfrac13\right)^2\cdot\dfrac23=\dfrac{16}{81}\cdots$ (答)

もう少し例題を見てみましょう。

〇個目取り出す一歩手前を考える

【例】赤玉6個, 白玉3個が入った袋から, 玉を1個取り出し, 色を調べてからもとに戻すことを7回繰り返すとき, 7回目に3個目の赤玉が出る確率を求めよ。
【解法】7回目に3個目の赤玉が出なければいけないので, 6回目までに赤玉2回, 白玉4回出ていなければいけない。
赤玉を取り出す確率は $\dfrac23$ , 白玉を取り出す確率は $\dfrac13$ であるから,
6回目までに赤玉2回, 白玉4回出ている確率は,
${}_{6} \mathrm{C}_2\cdot\left(\dfrac23\right)^2\cdot\left(\dfrac13\right)^4$
したがって, 7回目に3個目の赤玉を引く確率は,
${}_{6} \mathrm{C}_2\cdot\left(\dfrac23\right)^2\cdot\left(\dfrac13\right)^4\cdot\dfrac23=\dfrac{40}{729}\cdots$ (答)

次はちょっとした応用問題を見てみましょう。

〇個目取り出す一歩手前を考える

【例】赤玉6個, 白玉3個が入った袋から, 玉を1個取り出し, 色を調べてからもとに戻すことを7回繰り返すとき, 4回目に2個目の赤玉が出て, 7回目に4個目の赤玉が出る確率を求めよ。
【解法】4回目に2個目の赤玉が出るということは, 3回目までに赤玉1個, 白玉2個が出ていることになるので,
3回目までの確率は
${}_{3} \mathrm{C}_1\cdot\dfrac23\cdot\left(\dfrac13\right)^2$
4回目は赤玉が出るので, 4回目までの確率は,
${}_{3} \mathrm{C}_1\cdot\dfrac23\cdot\left(\dfrac13\right)^2\cdot\dfrac23\cdots\maru1$
7回目に4個目の赤玉ということは, 5回目, 6回目のどちらかで, 赤玉を1回取り出すことになるので, 5回目, 6回目の確率は,
${}_{2} \mathrm{C}_1\cdot\dfrac23\cdot\dfrac13\cdots\maru2$
$\maru1, \maru2$ より, 6回目までの確率は,
${}_{3} \mathrm{C}_1\cdot\dfrac23\cdot\left(\dfrac13\right)^2\cdot\dfrac23\cdot{}_{2} \mathrm{C}_1\cdot\dfrac23\cdot\dfrac13$
したがって, 7回目に4個目の赤玉が出る確率は,
${}_{3} \mathrm{C}_1\cdot\dfrac23\cdot\left(\dfrac13\right)^2\cdot\dfrac23\cdot{}_{2} \mathrm{C}_1\cdot\dfrac23\cdot\dfrac13\cdot\dfrac23=\dfrac{32}{729}\cdots$ (答)