emath:高校数学:ベクトル・s+t+u=1を活用しよう

こんにちは。今回は空間ベクトルで知っておくと便利な知識を活用しようというお話です。例題を解きながら見ていきましょう。

ちょっと一工夫

【例】四面体OABCにおいて, 辺OAの中点をM, \bigtriangleup{\text{MBC}}の重心をGとし, 直線OGと平面ABCの交点をPとする。\bekutoru{OA}=\overrightarrow{\mathstrut a}, \bekutoru{OB}=\overrightarrow{\mathstrut b}, \bekutoru{OC}=\overrightarrow{\mathstrut c}とするとき, 次の問いに答えなさい。
(1) \bekutoru{OG}\overrightarrow{\mathstrut a}, \overrightarrow{\mathstrut b}, \overrightarrow{\mathstrut c}を用いて表せ。
(2) \bekutoru{OP}\overrightarrow{\mathstrut a}, \overrightarrow{\mathstrut b}, \overrightarrow{\mathstrut c}を用いて表せ。
【解法】
(1)線分BCの中点をHとして, 分点の公式を用いると,


\bekutoru{OG}=\dfrac13\bekutoru{OM}+\dfrac23\bekutoru{OH}\cdots\maru1
また,
\bekutoru{OH}=\dfrac12\overrightarrow{\mathstrut b}+\dfrac12\overrightarrow{\mathstrut c}\cdots\maru2
\bekutoru{OM}=\dfrac12\overrightarrow{\mathstrut a}\cdots\maru3
であるから, \maru1, \maru2, \maru3より,
\begin{array}{lll}\overrightarrow{ \mathstrut  \text{OG}}&=&\dfrac13\cdot\dfrac12\overrightarrow{\mathstrut a}+\dfrac23\left(\dfrac12\overrightarrow{\mathstrut b}+\dfrac12\overrightarrow{\mathstrut c}\right)\\&=&\dfrac16\overrightarrow{\mathstrut a}+\dfrac13\overrightarrow{\mathstrut b}+\dfrac13\overrightarrow{\mathstrut c}\end{array}
よって,
\bekutoru{OG}= \dfrac16\overrightarrow{\mathstrut a}+\dfrac13\overrightarrow{\mathstrut b}+\dfrac13\overrightarrow{\mathstrut c}

ちょっと一工夫すると

Gは\bigtriangleup{\text{MBC}}の重心なので,
\bekutoru{OG}=\dfrac13\bekutoru{OM}+\dfrac13\bekutoru{OB}+\dfrac13\bekutoru{OC}
\bekutoru{OM}=\dfrac12\bekutoru{OA}なので,
\bekutoru{OG}=\dfrac16\bekutoru{OA}+\dfrac13\bekutoru{OB}+\dfrac13\bekutoru{OC}
よって,
\bekutoru{OG}= \dfrac16\overrightarrow{\mathstrut a}+\dfrac13\overrightarrow{\mathstrut b}+\dfrac13\overrightarrow{\mathstrut c}

(2) \bekutoru{OP}=k\bekutoru{OG}なので,
\bekutoru{OP}=\dfrac16k\overrightarrow{a}+\dfrac13k \overrightarrow{b}+\dfrac13k \overrightarrow{c}\cdots\maru4
\begin{array}{lll}\overrightarrow{ \mathstrut  \text{OP}}&=&\overrightarrow{ \mathstrut  \text{OA}}+t\overrightarrow{ \mathstrut  \text{AB}}+s\overrightarrow{ \mathstrut  \text{AC}}\\&=&\overrightarrow{ \mathstrut  a}+t\left(\overrightarrow{ \mathstrut  b}- \overrightarrow{ \mathstrut  a} \right)+s\left( \overrightarrow{ \mathstrut  c}- \overrightarrow{ \mathstrut  a} \right)\\&=&\left(1-t-s\right) \overrightarrow{ \mathstrut  a} + t \overrightarrow{ \mathstrut  b} + s \overrightarrow{ \mathstrut  c} \cdots\maru5\end{array}
\maru4\maru5の係数を比較すると,
1-t-s=\dfrac16k
t=s=\dfrac13k
これから, k=\dfrac65, t=s=\dfrac25
したがって,
\bekutoru{OP}=\dfrac15 \overrightarrow{ \mathstrut  a} +\dfrac25 \overrightarrow{ \mathstrut  b} +\dfrac25 \overrightarrow{ \mathstrut  c}

ちょっと一工夫すると

\bekutoru{OP}=k\bekutoru{OG}なので,
\bekutoru{OP}=\dfrac16k\overrightarrow{a}+\dfrac13k \overrightarrow{b}+\dfrac13k
点Pは平面ABC上にあるから,
\dfrac16k+\dfrac13k+\dfrac13k=1
\dfrac56k=1より, k=\dfrac65
したがって,
\bekutoru{OP}=\dfrac15 \overrightarrow{ \mathstrut a} +\dfrac25 \overrightarrow{ \mathstrut b} +\dfrac25 \overrightarrow{ \mathstrut c}

s+t+u=1をうまく使おう

点Pが平面上にあるときは, \bekutoru{OP}=k\bekutoru{OG}などとおいて, s+t+u=1からベクトルの係数の和を1とする方程式をつくり, kの値を求めると手際よく解ける。

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