emath：高校数学：ベクトル・s+t+u=1を活用しよう

こんにちは。今回は空間ベクトルで知っておくと便利な知識を活用しようというお話です。例題を解きながら見ていきましょう。

ちょっと一工夫

【例】四面体OABCにおいて, 辺OAの中点をM, $\bigtriangleup{\text{MBC}}$ の重心をGとし, 直線OGと平面ABCの交点をPとする。 $\bekutoru{OA}=\overrightarrow{\mathstrut a}$ , $\bekutoru{OB}=\overrightarrow{\mathstrut b}$ , $\bekutoru{OC}=\overrightarrow{\mathstrut c}$ とするとき, 次の問いに答えなさい。
(1) $\bekutoru{OG}$ を $\overrightarrow{\mathstrut a}$ , $\overrightarrow{\mathstrut b}$ , $\overrightarrow{\mathstrut　c}$ を用いて表せ。
(2) $\bekutoru{OP}$ を $\overrightarrow{\mathstrut a}$ , $\overrightarrow{\mathstrut b}$ , $\overrightarrow{\mathstrut c}$ を用いて表せ。
【解法】
(1)線分BCの中点をHとして, 分点の公式を用いると,

$\bekutoru{OG}=\dfrac13\bekutoru{OM}+\dfrac23\bekutoru{OH}\cdots\maru1$
また,
$\bekutoru{OH}=\dfrac12\overrightarrow{\mathstrut b}+\dfrac12\overrightarrow{\mathstrut c}\cdots\maru2$
$\bekutoru{OM}=\dfrac12\overrightarrow{\mathstrut a}\cdots\maru3$
であるから, $\maru1, \maru2, \maru3$ より,
$\begin{array}{lll}\overrightarrow{ \mathstrut \text{OG}}&=&\dfrac13\cdot\dfrac12\overrightarrow{\mathstrut a}+\dfrac23\left(\dfrac12\overrightarrow{\mathstrut b}+\dfrac12\overrightarrow{\mathstrut c}\right)\\&=&\dfrac16\overrightarrow{\mathstrut a}+\dfrac13\overrightarrow{\mathstrut b}+\dfrac13\overrightarrow{\mathstrut c}\end{array}$
よって,
$\bekutoru{OG}= \dfrac16\overrightarrow{\mathstrut a}+\dfrac13\overrightarrow{\mathstrut b}+\dfrac13\overrightarrow{\mathstrut c}$

ちょっと一工夫すると

Gは $\bigtriangleup{\text{MBC}}$ の重心なので,
$\bekutoru{OG}=\dfrac13\bekutoru{OM}+\dfrac13\bekutoru{OB}+\dfrac13\bekutoru{OC}$
$\bekutoru{OM}=\dfrac12\bekutoru{OA}$ なので,
$\bekutoru{OG}=\dfrac16\bekutoru{OA}+\dfrac13\bekutoru{OB}+\dfrac13\bekutoru{OC}$
よって,
$\bekutoru{OG}= \dfrac16\overrightarrow{\mathstrut a}+\dfrac13\overrightarrow{\mathstrut b}+\dfrac13\overrightarrow{\mathstrut c}$

(2) $\bekutoru{OP}=k\bekutoru{OG}$ なので,
$\bekutoru{OP}=\dfrac16k\overrightarrow{a}+\dfrac13k \overrightarrow{b}+\dfrac13k \overrightarrow{c}\cdots\maru4$
$\begin{array}{lll}\overrightarrow{ \mathstrut \text{OP}}&=&\overrightarrow{ \mathstrut \text{OA}}+t\overrightarrow{ \mathstrut \text{AB}}+s\overrightarrow{ \mathstrut \text{AC}}\\&=&\overrightarrow{ \mathstrut a}+t\left(\overrightarrow{ \mathstrut b}- \overrightarrow{ \mathstrut a} \right)+s\left( \overrightarrow{ \mathstrut c}- \overrightarrow{ \mathstrut a} \right)\\&=&\left(1-t-s\right) \overrightarrow{ \mathstrut a} + t \overrightarrow{ \mathstrut b} + s \overrightarrow{ \mathstrut c} \cdots\maru5\end{array}$
$\maru4$ と $\maru5$ の係数を比較すると,
$1-t-s=\dfrac16k$
$t=s=\dfrac13k$
これから, $k=\dfrac65, t=s=\dfrac25$
したがって,
$\bekutoru{OP}=\dfrac15 \overrightarrow{ \mathstrut a} +\dfrac25 \overrightarrow{ \mathstrut b} +\dfrac25 \overrightarrow{ \mathstrut c}$

ちょっと一工夫すると

$\bekutoru{OP}=k\bekutoru{OG}$ なので,
$\bekutoru{OP}=\dfrac16k\overrightarrow{a}+\dfrac13k \overrightarrow{b}+\dfrac13k$
点Pは平面ABC上にあるから,
$\dfrac16k+\dfrac13k+\dfrac13k=1$
$\dfrac56k=1$ より, $k=\dfrac65$
したがって,
$\bekutoru{OP}=\dfrac15 \overrightarrow{ \mathstrut a} +\dfrac25 \overrightarrow{ \mathstrut b} +\dfrac25 \overrightarrow{ \mathstrut c}$