高校数学：数列：数学的帰納法とは

こんにちは。相城です。今回は数学的帰納法について書いておきます。

数学的帰納法とは

数学的帰納法でたまに質問されることが, $n=k$ が成り立つのに, なんで $n=1$ のとき成り立つことを言うのですか？という質問です。
そもそも数学的帰納法というのは, $n=k$ のとき成り立つのではなく, $n=k$ のとき成り立つと仮定するのです。その仮定にもとずくと, $n=k+1$ のときも成り立つことが言えます。
だからすべての $n$ について成り立つ事が言えるようになる。じゃなぜ $n=1$ のとき成り立つことを言うかというと, $n$ が1から始まるからです。 $n$ が2から始まるのなら $n=2$ から始めればいいのです。
したがって, $n=k$ で成り立つと仮定して, $n=k+1$ で成り立つことが言えるということは,
$n=1$ のときが成り立てば, $n=2$ のときも成り立ち,
$n=2$ のときが成り立てば, $n=3$ のときも成り立つ,
$\vdots$
$n=k-1$ のときが成り立てば, $n=k$ のときも成り立つ,
$n=k$ のときが成り立てば, $n=k+1$ のときも成り立つ,
$\vdots$
以下すべての自然数 $n$ について成り立つという仕組みになっているのです。