高校数学：数列：定期テスト対策・群数列の問題①

こんにちは。今回は群数列の問題を扱っていきます。

群数列の問題

【問題】初項1, 公差3の等差数列を, 次のように1個, 2個, 3個, $\cdots$ と群に分ける。
$1\ |\ 4, 7\ |\ 10, 13, 16\ |\ 19, 22, \cdots$
(1) 第 $n$ 群の最初の数を求めよ。
(2) 第 $n$ 群に含まれる数の和を求めよ。
(3) 145は第何群の何番目の数か答えよ。

【解答】
(1) もとの数列の一般項は $1+3(n-1)=3n-2$ である。
$n\geqq2$ のとき, 第1群から第 $(n-1)$ 群までに含まれる数の総数は,
$1+2+3+\cdots+(n-1)=\dfrac12n(n-1)$
よって, 第 $n$ 群( $n\geqq2)$ の最初の数は, もっとの等差数列の第 $\left\{\dfrac12n(n-1)+1\right\}$ 項である。
したがって, 第 $n$ 群の最初の数は,
$3\left\{\dfrac12n(n-1)+1\right\}-2=\dfrac12(3n^2-3n+2)$
これは $n=1$ のときも成り立つ。
よって, 求める数は, $\dfrac12(3n^2-3n+2) \cdots$ (答)
(2) 求める和は, 初項 $\dfrac12(3n^2-3n+2)$ , 公差3, 項数 $n$ の等差数列の和であるから, 和の公式より,
$\dfrac12n\left\{2\cdot\dfrac12(3n^2-3n+2)+3(n-1)\right\}=\dfrac12n(3n^2-1)\cdots$ (答)
(3) (1)で求めた数を $\left\{a_n\right\}$ とすると
$a_n\leqq 145\leqq a_{n+1}$ を満たす $n$ を見つける。
ここで, $n=10$ のとき,
$a_{10}=\dfrac12(3\cdot10^2-3\cdot10+2)=136$
$n=11$ のとき,
$a_{11}=\dfrac12(3\cdot11^2-3\cdot11+2)=166$
なので, 第10群( $n=10$ )のとき, その群の中に145があることになる。
第10群を小さい順に書き出すと,
136, 139, 142, 145, $\cdots$
なので, 求める答えは, 第10群の4番目である。 $\cdots$ (答)

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