高校数学：数学的帰納法・複雑な数列の和から得られた結果の考察

2021年12月30日2023年3月26日

こんにちは。今回は複雑な数列の和から得られた結果が本当に8の倍数になるのか考察してみようと思います。

結果を検証してみよう

【問題】自然数を $n$ とするとき, $(4n-3)\cdot5^n+3$ が8の倍数になることを数学的帰納法を用いて表せ。

【解答】
$n=1$ のとき,
$(4\cdot1-3)\cdot5^1+3=5+3=8$
で成り立つ。
$n=k$ のとき,
$(4k-3)\cdot5^k+3=8m$ ( $m$ は自然数)
が成り立つと仮定すると,
$n=k+1$ のとき,
$\begin{array}{lll}&&\left\{4(k+1)-3\right\}\cdot5^{k+1}+3\\&=&5(4k+1)\cdot5^k+3\\&=&5(4k-3+4)\cdot5^k+3\\&=&5(4k-3)\cdot5^k+3+20\cdot5^k\\&=&5(4k-3)\cdot5^k+15-12+20\cdot5^k\\&=&5\left\{(4k-3)\cdot5^k+3\right\}+20\cdot5^k-12\\&=&5\cdot8m+4(\underline{5\cdot5^k-3})\cdots\maru1\end{array}$
ここで, $\maru1$ の下線部は奇数 $-$ 奇数なので偶数であるから,
$4(5\cdot5^k-3)=8p$ ( $p$ は自然数)とおける。
よって, $\maru1$ は,
$5\cdot8m+8p=8(5m+p)$
となり, これは8の倍数である。
したがって, $n=k+1$ において成り立つ事が言える。
ゆえに, すべての自然数 $n$ について成り立つ事が言える。

結果を検証してみよう

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