高校数学：数列：定期テスト対策・やや複雑な数列の和①

やや複雑なのをやってみましょう。

少し難しい数列の和の問題

【問題】次の数列の和を求めよ。
$1\cdot n,\ 3\cdot(n-1),\ 5\cdot(n-2),\ \cdots,\ (2n-3)\cdot2,\ (2n-1)\cdot1$

【解答】数列の第 $k$ 項を $a_k$ , 初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とすると,
$a_k=(2k-1)(n-k+1)$ $(1\leqq k\leqq n)$
このとき,
$\begin{array}{lll}S_n&=&\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(2k-1)(n-k+1)\\&=&-2\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2+(2n+3)\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k-(n+1)\displaystyle\sum_{k=1}^{n} 1\\&=&-2\cdot\dfrac16n(n+1)(2n+1)+(2n+3)\cdot\dfrac12n(n+1)-(n+1)\cdot n\\&=&\dfrac16n(n+1)\left\{-2(2n+1)+3(2n+3)-6\right\}\\&=&\dfrac16n(n+1)(2n+1)\end{array}$
よって,
$S_n=\dfrac16n(n+1)(2n+1)\cdots$ (答)

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