高校数学：空間ベクトル：2つのベクトルに垂直なベクトル

こんにちは。今回は空間ベクトルです。2つのベクトルに垂直なベクトルを求めてみましょう。例題を解きながら見ていきましょう。

例題を見てみよう

【例題】2つのベクトル $\overrightarrow{ \mathstrut a}=(1, -2, 2)$ , $\overrightarrow{ \mathstrut b}=(2, 3, -10)$ とする。このとき, $\overrightarrow{ \mathstrut a}, \overrightarrow{ \mathstrut b}$ の2つのベクトルに垂直で, 大きさが9であるベクトル $\overrightarrow{ \mathstrut p}$ を求めよ。

2つのベクトルに垂直であることと大きさを利用する

【方針】方針としては, $\overrightarrow{ \mathstrut p}=(x, y, z)$ とおいて, 2つのベクトルに対して垂直であることから, 内積0を用いて, $x, y, z$ の関係式を2つつくる。大きさが9であることから, $x, y, z$ の関係式を1つつくる。これらの3つの式から $x, y, z$ の値を求める。
【解法】 $\overrightarrow{ \mathstrut p}=(x, y, z)$ とおく。
$\overrightarrow{ \mathstrut a}\perp \overrightarrow{ \mathstrut p}$ なので, $\overrightarrow{ \mathstrut a}\cdot \overrightarrow{ \mathstrut p}=0$ だから,
$x-2y+2z=0\cdots\maru1$
$\overrightarrow{ \mathstrut b}\perp \overrightarrow{ \mathstrut p}$ なので, $\overrightarrow{ \mathstrut b}\cdot \overrightarrow{ \mathstrut p}=0$ だから,
$2x+3y-10z=0\cdots\maru2$
$\left| \overrightarrow{ \mathstrut p} \right|=9$ なので, $\left| \overrightarrow{ \mathstrut p} \right|^2=81$ だから,
$x^2+y^2+z^2=81\cdots\maru3$
$\maru1\times2-\maru2$ より, $-7y+14z=0$ ,
$y=2z\cdots\maru4$
これを $\maru1$ に代入して,
$x-4z+2z=0$
$x=2z\cdots\maru5$
$\maru4, \maru5$ を $\maru3$ に代入して,
$4z^2+4z^2+z^2=81$
$9z^2=81$
$z=\pm3$
これと, $\maru4, \maru5$ より求めるベクトル $\overrightarrow{ \mathstrut p}$ は,
$\overrightarrow{ \mathstrut p} = (\pm6, \pm6,\pm3)$ (ただし複合同順)

ここがポイント

$\maru1$ 求めるベクトルを $(x, y, z)$ などとおく。
$\maru2$ 2つのベクトルに垂直であることから, 内積 $=0$ を用いて, $x, y, z$ の関係式を2つつくる。
$\maru3$ 大きさの関係から, $x, y, z$ の関係式を1つつくる。
$\maru4$ $\maru2$ でつくった式を利用して, $x, y, z$ を1つの文字で表す。
$\maru5$ $\maru4$ で求めた式を $\maru3$ の式に代入して値を求め, $\maru4$ の式を利用し, $x, y, z$ の値を求める。