高校数学：整数：最大公約数×最小公倍数＝元の2数の積

2022年2月6日2024年2月17日

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こんにちは。今回は高1の整数のところで出てくる最大公約数と最小公倍数の性質の紹介。

最大公約数G, 最小公倍数Lとすると

2つの整数 $A, B$ の最大公約数を $G$ , 最小公倍数を $L$ とする。
$A=Ga, B=Gb$ ( $a, b$ は互いに素)であるとき, 次の式が成り立つ。
$\maru1$ $L=Gab$
$\maru2$ $GL=AB$

$\maru2$ は, $\maru1$ から $GL=GGab=GaGb$
と書けるので, $\maru2$ が導ける。

例題をやってみよう

【例題】最大公約数が25, 最小公倍数が900である自然数 $A, B$ の組をすべて求めよ。

【解法】求める2数 $A, B$ を
$A=25a, B=25b$ ( $a, b$ は互いに素)とおく。ただし, $a<b$ とする。
このとき最小公倍数は $25ab$ と表されるので,
$25ab=900$
$ab=36$
となる。 $a, b$ は互いに素で $a<b$ であることを考えると,
$(a, b)=(1, 36), (4, 9)$
よって求める自然数 $A, B$ の組は
$(A, B)=(25, 900), (100, 225)$

最大公約数G, 最小公倍数L

2つの整数 $A, B$ の最大公約数を $G$ , 最小公倍数を $L$ とする。
$A=Ga, B=Gb$ ( $a, b$ は互いに素)であるとき, 次の式が成り立つ。
$\maru1$ $L=Gab$
$\maru2$ $GL=AB$

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