中学数学:比例の式を比例式で求める方法

こんにちは。今回は比例の式を比例式を用いた求め方でやってみようと思います。

比例の関係には比例式が有効

上記は比例の関係を表す式ですが, その特徴は,
x : y
の比が同じになっています。上の表では,
x : y=-1 : 3\ \ \cdots\cdots\maru1
または
x : y=1 : -3\ \ \cdots\cdots\maru2
になっています。この場合どちらにマイナスがついていても, 結局は同じになります。
\maru1では(内項の積)=(外項の積)を使って比例式を解くと,
-y=3x
となって, y=-3xという関係式を得ます。
同様に, \maru2でもy=-3xという関係式が得られます。ですから, どちらにマイナスがついていても結果は同じになります。

このように, 比例の式を求めるのに, y=axと置かずに, 上のように比例式を使って解く場合もあります。

また, 次のような, 比例の利用問題でも役に立ちます。

こんな問題でも使える

【例】紙が何枚かあって, その重さをはかると1400\,gありました。その紙の中から10枚取り出して重さを量ると50\,gでした。
このとき, 紙の枚数をx枚, 紙の重さをy\,gとして, 次の問いに答えなさい。
(1) yxの式で表せ。
(2) 紙は全部で何枚あると考えられるか答えなさい。
このようなとき,上で使った比例式が役に立ちます。
紙って枚数が2倍になると, 重さも2倍になりますね。枚数が3倍になったら, 重さも3倍\cdotsのように, 比例の関係が成り立ちます。
x: y\text{g}=10: 50\text{g}\ \ \cdots\cdots\maru3
というように, 枚数 : 重さで, 比例式を作ります。
\maru3は分かりやすいように単位を付けていますが, 単位は普通省きますから,
x : y=10 : 50
x : y=1 : 5として,
y=5x\cdots\cdots(1)の答え
を得ます。

(2)は全部のもので分かっているのは重さなので, その重さ1400\,gをy(yの単位は\,gなので重さを表す文字)に代入して,
1400=5x
5x=1400
x=280
280枚\cdots\cdots(2)の答え
となります。
もちろん, (2)の答えを出すのに
10 : 50 = x :1400
として, 比例式を解いて, x=280を求めても問題はありません。

また, 比例式による解法は, 扇形の中心角を求めたりするときも使えます。
反比例の式でも一工夫すれば, 比例式は使えますが単純に間違えやすくなるのでやめた方がいいでしょう。
それでは。

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