高校数学：解と係数の関係と定数mの範囲②

こんにちは。今回は2次方程式の解の性質から解と係数の関係を用いて, 与えられた文字の範囲を調べていきましょう。最後に数Iでの解法も載せておきます。それでは例題を解きながら見ていきましょう。

例題

【例題】2次方程式 $2x^2-4mx+m+3=0$ が, 次のような解をもつとき, 定数 $m$ の範囲を求めよ。
(ア)　異なる2つの解がともに1より大きいとき
(イ)　異なる2つの解がともに1より小さいとき
(ウ)　1つの解が1より大きく, 他の解が1より小さいとき

下準備

【下準備】条件より $D>0$ であるから,
$D/4=(-2m)^2-2(m+3)=4m^2-2m-6$
つまり, $2m^2-m-3>0$ , $(m+1)(2m-3)>0$
よって, $m<-1, m>\dfrac32$
また, 異なる2つの解を $\alpha, \beta$ とすると,
$\alpha+\beta=2m$ , $\alpha\beta=\dfrac{m+3}{2}$
以下これらを用いて解法していきます。

(ア)の解法

(ア)　先ず条件より, $D>0$ であるから, $m<-1, m>\dfrac32\cdots\maru1$
異なる2つの解を $\alpha, \beta$ とすると,
$\alpha>1, \beta>1$ なので, 1を左辺に移項すると,
$\alpha-1>0, \beta-1>0$ となる。これから,
$(\alpha-1)+(\beta-1)>0$ が成り立つので
$\alpha+\beta-2>0$
$2m-2>0$
$m>1\cdots\maru2$
また, このとき, $(\alpha-1)(\beta-1)>0$ なので,
$\alpha\beta-(\alpha+\beta)+1>0$
$\dfrac{m+3}{2}-2m+1>0$
$\dfrac{-3m+5}{2}>0$
$m<\dfrac53\cdots\maru3$
$\maru1, \maru2, \maru3$ より, 共通範囲を求めて,
$\dfrac{3}{2}<m<\dfrac{5}{3}\cdots$ (答)

(イ)の解法

(イ)　(ア)　先ず条件より, $D>0$ であるから, $m<-1, m>\dfrac32\cdots\maru1$
異なる2つの解を $\alpha, \beta$ とすると,
$\alpha<1, \beta<1$ なので, 1を左辺に移項すると,
$\alpha-1<0, \beta-1<0$ となる。これから,
$(\alpha-1)+(\beta-1)<0$ が成り立つので
$\alpha+\beta-2<0$
$2m-2<0$
$m<1\cdots\maru2$
また, このとき, $(\alpha-1)(\beta-1)>0$ なので,
$\alpha\beta-(\alpha+\beta)+1>0$
$\dfrac{m+3}{2}-2m+1>0$
$\dfrac{-3m+5}{2}>0$
$m<\dfrac53\cdots\maru3$
$\maru1, \maru2, \maru3$ より, 共通範囲を求めて,
$m<-1\cdots$ (答)

(ウ)の解法

(ウ)　先ず条件より, $D>0$ であるから, $m<-1, m>\dfrac32\cdots\maru1$
異なる2つの解を $\alpha, \beta$ とすると,
$\alpha>1, \beta<1$ または, $\alpha<1, \beta>1$ なので, 1を左辺に移項すると,
$\alpha-1>0$ , $\beta-1<0$ , または, $\alpha-1<0, \beta-1>0$ となる。
このとき, どちらのときも, $(\alpha-1)(\beta-1)<0$ なので, これが求める条件となる。
よって,
$(\alpha-1)(\beta-1)<0$
$\alpha\beta-(\alpha+\beta)+1<0$
$\dfrac{m+3}{2}-2m+1<0$
$\dfrac{-3m+5}{2}<0$
$m>\dfrac53\cdots$ (答)

テクニック

異なる2つの解 $\alpha, \beta$ がともに1より大きいとき,
$\alpha>1, \beta>1$ なので, 1を左辺に移項すると,
$\alpha-1>0, \beta-1>0$ となる。これから,
$(\alpha-1)+(\beta-1)>0$ かつ $(\alpha-1)(\beta-1)>0$ が成り立つという一連の流れはつかんでおきましょう。