TikZ：高校数学：二次関数と二次方程式の解①

こんにちは。今回は2次関数と2次方程式の解ということで, 2次方程式の解の範囲をグラフ的に捉えて解決していきましょう。最後に数IIでの解法も載せておきます。

例題

【例題】2次方程式 $x^2+2(3m-1)x+9m^2-4=0$ が, 次のような解をもつとき, 定数 $m$ の範囲を求めよ。
(ア)　異なる2つの正の解
(イ)　異なる2つの負の解
(ウ)　1つは正の解で, 他の解は負の解

(ア)の解法

(ア)の解法
$f(x)=x^2+2(3m-1)x+9m^2-4$ とおく。 $x$ の関数 $f(x)$ のグラフと $x$ 軸との交点が2次方程式の解になることを利用して解いていく。このとき, 関数 $f(x)$ のイメージとしては以下のようになればよい。

解決方法は次の3つを調べること。
それは, 判別式, 軸, $f(0)$ の値。この場合この3つに与えられる条件はグラフから以下のようである。
判別式 $(D)>0$ (異なる2つの実数解を持つ条件)
軸 $(\ell)>0$ (軸が $y$ 軸より右側にあること)
$f(0)>0$ ( $D>0$ かつ軸が $y$ 軸より右側にあれば, この条件を加えることで解が2つとも $y$ 軸より右側にあることになる。)
この3つを同時に満たすことで, $f(x)$ は $x$ 軸の異なる2つの正の数で交わることになります。つまり, 題の二次方程式は異なる2つの正の解を持つことになります。
まず, 判別式 $D/4=(3m-1)^2-(9m^2-4)=-6m+5>0$ より,
$m<\dfrac56\cdots\maru1$
次に軸に関して,
$f(x)$ を平方完成すると, $f(x)=(x+3m-1)^2+6m-5$ となるので,
軸の式は $x=-3m+1$ 。
これが正なので, $-3m+1>0$ , $m<\dfrac13\cdots\maru2$
最後に, $f(0)>0$ より, $f(0)=9m^2-4$ であるから,
$9m^2-4>0$ , $(3m+2)(3m-2)>0$ なので, $m<-\dfrac23, m>\dfrac23\cdots\maru3$
$\maru1, \maru2, \maru3$ の共通範囲を求めると,
$m<-\dfrac23\cdots$ (答)

(イ)の解法

(イ)の解法
(ア)同様にグラフを描いてイメージをつかむ。

解決方法は次の3つを調べること。
それは, 判別式, 軸, $f(0)$ の値。この場合この3つに与えられる条件はグラフから以下のようである。
判別式 $(D)>0$ (異なる2つの実数解を持つ条件)
軸 $(\ell)<0$ (軸が $y$ 軸より左側にあること)
$f(0)>0$ ( $D>0$ かつ軸が $y$ 軸より左側にあれば, この条件を加えることで解が2つとも $y$ 軸より左側にあることになる。)
この3つを同時に満たすことで, $f(x)$ は $x$ 軸の異なる2つの負の数で交わることになります。つまり, 題の二次方程式は異なる2つの負の解を持つことになります。
まず, 判別式 $D/4=(3m-1)^2-(9m^2-4)=-6m+5>0$ より,
$m<\dfrac56\cdots\maru1$
次に軸に関して,
$f(x)$ を平方完成すると, $f(x)=(x+3m-1)^2+6m-5$ となるので,
軸の式は $x=-3m+1$ 。
これが負なので, $-3m+1<0$ , $m>\dfrac13\cdots\maru2$
最後に, $f(0)>0$ より, $f(0)=9m^2-4$ であるから,
$9m^2-4>0$ , $(3m+2)(3m-2)>0$ なので, $m<-\dfrac23, m>\dfrac23\cdots\maru3$
$\maru1, \maru2, \maru3$ の共通範囲を求めると,
$\dfrac23<m<\dfrac56\cdots$ (答)

(ウ)の解法

(ウ)の解法
これまでと同様にグラフを描いてイメージをつかむ。

上の図からわかるように, 1つは正の解で, 他の解は負の解の場合, $f(0)$ の値が負であれば, 題を満たすことになる。したがって, $f(0)<0$ が条件になる。
$f(0)=9m^2-4$ であるから, $9m^2-4<0$ , $(3m+2)(3m-2)<0$ となるので, 求める範囲は,
$-\dfrac23<m<\dfrac23\cdots$ (答)

流れをつかんでおこう

判別式, 軸, $f(0)$ の値を調べて, 条件に合わせて範囲を決めていく。