高校数学：数III積分・指数関数, 対数関数の置換積分のコツ

こんにちは。今回は指数関数と対数関数の積分について書いておきます。当たり前のことかもしれませんが, 確認の意味も込めて書いておきます。以下, $C$ は積分定数とします。

指数関数の置換積分

$\displaystyle\int f'(x)\cdot e^{f(x)}\,dx$ の積分では, $f(x)=t$ とおくことで積分しやすくなる。
$f(x)=t$ より, $f'(x)\,dx=dt$ となるので,
$\displaystyle\int f'(x)\cdot e^{f(x)}\,dx=\displaystyle\int e^t\,dt=e^t+C$
となる。
【例】
$\displaystyle\int \dfrac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx$ の不定積分を求めよ。
【解法例】
$\sqrt{x}=t$ とおくと,
$\dfrac12x^{-\frac12}\,dx=dt$ なので, $\dfrac{1}{\sqrt{x}}\,dx=2\,dt$
したがって,
$\begin{array}{lll}\displaystyle\int \dfrac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx&=&\displaystyle\int e^t\cdot2\,dt\\&=&2e^t+C\\&=&2e^{\sqrt{x}}+C\end{array}$

対数関数の置換積分

$\displaystyle\int\dfrac{f(\log{x})}{x}\,dx$ の積分では, $\log{x}=t$ とおくことで積分しやすくなる。
$\log{x}=t$ より, $\dfrac{1}{x}\,dx=dt$ となるので,
$\displaystyle\int\dfrac{f(\log{x})}{x}\,dx&=&\displaystyle\int f(t)\,dt=F(x)+C$ ( $F(x)$ は $f(x)$ の原始関数)
【例】
$\displaystyle\int \dfrac{\sqrt[3]{\log{x}}}{x}\,dx$ の不定積分を求めよ。
【解法例】
$\log{x}=t$ とおくと, $\dfrac{1}{x}\,dx=dt$ なので,
$\begin{array}{lll}\displaystyle\int \dfrac{\sqrt[3]{\log{x}}}{x}\,dx&=&\displaystyle\int\sqrt[3]{t}\,dt\\&=&\displaystyle\int t^{\frac13}\,dt\\&=&\dfrac34t^{\frac43}+C\\&=&\dfrac34\log{x}\sqrt[3]{\log{x}}+C\end{array}$

まとめ

$\maru1$ $\displaystyle\int f'(x)\cdot e^{f(x)}\,dx$ の積分では, $f(x)=t$ とおくことで積分しやすくなる。
$\maru2$ $\displaystyle\int\dfrac{f(\log{x})}{x}\,dx$ の積分では, $\log{x}=t$ とおくことで積分しやすくなる。

指数関数の置換積分

対数関数の置換積分

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