高校数学：数III微分・逆関数の微分法

こんにちは。今回は逆関数の微分法について書いておきます。

逆関数の微分法

関数 $y=f(x)$ の逆関数を $y=f^{-1}(x)$ とすると, $x=f(y)\cdots\maru1$ となります。
$\maru1$ を $x$ で微分すると,
$1=f'(y)\cdot\dfrac{dy}{dx}$
となります。
したがって,
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{f'(y)}\cdots\maru2$
また, $\maru1$ を $y$ で微分すると,
$\dfrac{dx}{dy}=f'(y)$ となるので, これを $\maru2$ にあてはめると,
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{\dfrac{dx}{dy}}$
となります。

どんな場面で使うのか

逆関数の微分を使う場面は,
$\maru1$ 逆関数をとった方が楽な場合, つまり, $y=f(x)$ を $x=g(y)$ とした方がよい場合。
$\maru2$ $y=$ の形で表せない場合に用いるとよい。
以下に $\maru1, \maru2$ の例題を示しました。

例題を見てみよう

【 $\maru1$ の例】関数 $y=\sqrt[5]{x}$ を微分せよ。

【解答例】
両辺5乗して, $y^5=x$
$y$ で微分すると, $5y^4=\dfrac{dx}{dy}$
$\begin{array}{lll}\dfrac{dy}{dx}&=&\dfrac{1}{\dfrac{dx}{dy}}\\&=&\dfrac{1}{5y^4}\\&=&\dfrac{1}{5\left(\sqrt[5]{x}\right)^4}\\&=&\dfrac{1}{5\sqrt[5]{x^4}}\end{array}$
【別解】この程度の問題であれば, 上記方法をとるより,
$y=x^{\frac15}$ として, 普通に微分を行った方が早い。
$\begin{array}{lll}y'&=&\dfrac15x^{\frac15-1}\\&=&\dfrac15x^{-\frac45}\\&=&\dfrac{1}{5\sqrt[5]{x^4}}\end{array}$

【 $\maru2$ の例】関数 $x=\sin y\, \left(-\dfrac{\pi}{2}<y<\dfrac{\pi}{2}\right)$ を微分せよ。

【解答例】
$y$ で微分すると, $\dfrac{dx}{dy}=\cos y$ となるので,
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{\dfrac{dx}{dy}}=\dfrac{1}{\cos y}\cdots(A)$
ここで, $\sin^2y+\cos^2y=1$ から,
$\cos y=\pm\sqrt{1-\sin^2y}$ となり,
$-\dfrac{\pi}{2}<y<\dfrac{\pi}{2}$ であるので, $\cos y>0$
したがって, $\cos y=\sqrt{1-\sin^2y}$
これを $(A)$ に代入すると,
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{\sqrt{1-\sin^2y}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
となる。
よって,
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

逆関数の微分法

逆関数の微分を使う場面は,
$\maru1$ 逆関数をとった方が楽な場合, つまり, $y=f(x)$ を $x=g(y)$ とした方がよい場合。
$\maru2$ $y=$ の形で表せない場合に用いるとよい。
ただ, 上の $\maru1$ の例題のように, 場合によってはそのままやった方が早い場合もある。

逆関数の微分法

どんな場面で使うのか

例題を見てみよう

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