TikZ：高校数学：数III微分・関数の連続と微分可能

こんにちは。連続と微分可能について書いておきます。

連続とは

連続とはグラフがつながっていることです。
関数 $f(x)$ が $x=a$ で連続(つながっている)ということは,
$\displaystyle\lim_{x \to a}f(x)=f(a)$
が成り立つことである。
これは, 右側極限の $\displaystyle\lim_{x \to a+0}f(x)$ と, 左側極限の $\displaystyle\lim_{x \to a-0}f(x)$ が存在し,
$\displaystyle\lim_{x \to a+0}f(x)=\displaystyle\lim_{x \to a-0}f(x)$
であることをいう。

微分可能は接線の傾きが決まること

関数 $f(x)$ が $x=a$ で微分可能であるならば, 関数 $f(x)$ は $x=a$ で連続である。この逆は必ずしも成り立たない。つまり, 関数が連続であっても微分可能とは言えないとうことである。
これは, 関数 $f(x)$ が $x=a$ における微分係数を有限値で持つことである。微分係数とは $x=a$ における接線の傾きであるため, 連続する関数でも $x=a$ における接線の傾きが1つに定まらないものは, $x=a$ で微分可能ではないことになる。
したがって, 微分可能な条件として,
$f'(a)=\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$
が有限値で存在し,
$\displaystyle\lim_{h \to -0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\displaystyle\lim_{h \to +0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$
となれば, 微分可能である。
グラフ的に言えば滑らかにつながっていることになる。

微分不可能なグラフの例

以下微分不可能な例を挙げました。
【Case1】
$f(x)=\begin{cases}x+2\,\,(x\geqq0)\\x-1\,\, (x<0)\end{cases}$

この場合, グラフは $x=0$ において不連続である。
【証明】
$\displaystyle\lim_{x \to +0}f(x)=2$
$\displaystyle\lim_{x \to -0}f(x)=-1$
このように右側極限と左側極限が一致しない。したがって, 極限 $\displaystyle\lim_{x \to 0}f(x)$ が存在しないので, $x=0$ で不連続である。
【Case2】
$f(x)=\begin{cases}x\,\,(x\geqq0)\\-x\,\, (x<0)\end{cases}$

$x=0$ における接線の傾きが1つに定まらない。この場合, グラフは $x=0$ で連続である。
【証明】
$\begin{array}{lll}f'(0)&=&\displaystyle\lim_{h \to +0} \dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h \to +0}\dfrac{(0+h)-0}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h \to +0}\dfrac{h}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h \to +0}1\\&=&1\end{array}$
同様に,
$\begin{array}{lll}f'(0)&=&\displaystyle\lim_{h \to -0} \dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h \to -0}\dfrac{-(0+h)-0}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h \to -0}\dfrac{-h}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h \to -0}-1\\&=&-1\end{array}$
【Case3】
$f(x)=\begin{cases}\sqrt{x}\,\,(x\geqq0)\\-\sqrt{-x}\,\, (x<0)\end{cases}$

$x=0$ における接線の傾きが $\infty$ で発散してしまう。
【証明】
$\begin{array}{lll}f'(0)&=&\displaystyle\lim_{h \to +0} \dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h \to +0}\dfrac{\sqrt{0+h}-\sqrt{0}}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h \to +0}\dfrac{\sqrt{h}}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h \to +0}\dfrac{1}{\sqrt{h}}\\&=&\infty\end{array}$
同様に,
$\begin{array}{lll}f'(0)&=&\displaystyle\lim_{h \to -0} \dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h \to -0}\dfrac{-\sqrt{-(0+h)}-\sqrt{0}}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h \to -0}\dfrac{-\sqrt{-h}}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h \to -0}\dfrac{1}{\sqrt{-h}}\\&=&\infty\end{array}$
これは $x=0$ における接線の傾きの値が有限値ではなく, $\infty$ に発散することを意味するので, $x=0$ で微分可能ではない。言い換えると接線は $y=$ の形では表せず, この場合, 接線は $x=0$ となる。

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