こんにちは。連続と微分可能について書いておきます。
連続とはグラフがつながっていることです。
関数が
で連続(つながっている)ということは,
が成り立つことである。
これは, 右側極限のと, 左側極限の
が存在し,
であることをいう。
関数が
で微分可能であるならば, 関数
は
で連続である。この逆は必ずしも成り立たない。つまり, 関数が連続であっても微分可能とは言えないとうことである。
これは, 関数が
における微分係数を有限値で持つことである。微分係数とは
における接線の傾きであるため, 連続する関数でも
における接線の傾きが1つに定まらないものは,
で微分可能ではないことになる。
したがって, 微分可能な条件として,
が有限値で存在し,
となれば, 微分可能である。
グラフ的に言えば滑らかにつながっていることになる。
以下微分不可能な例を挙げました。
【Case1】
この場合, グラフは
![Rendered by QuickLaTeX.com x=0](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4c2c95e89d8f5c6e0e66407c3fe20028_l3.png)
【証明】
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle\lim_{x \to +0}f(x)=2](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-74c94ffd4c967761da9416eb345874ea_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle\lim_{x \to -0}f(x)=-1](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c9ec71e5da66d17f3ffd12b34785d128_l3.png)
このように右側極限と左側極限が一致しない。したがって, 極限
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle\lim_{x \to 0}f(x)](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c4b2c74518a2ddc9d8c4a9f1fa2ffaff_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x=0](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4c2c95e89d8f5c6e0e66407c3fe20028_l3.png)
【Case2】
![Rendered by QuickLaTeX.com f(x)=\begin{cases}x\,\,(x\geqq0)\\-x\,\, (x<0)\end{cases}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a33766a82203a5ec1918bd71cd8fe389_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x=0](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4c2c95e89d8f5c6e0e66407c3fe20028_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x=0](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4c2c95e89d8f5c6e0e66407c3fe20028_l3.png)
【証明】
![Rendered by QuickLaTeX.com \begin{array}{lll}f'(0)&=&\displaystyle\lim_{h \to +0} \dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h \to +0}\dfrac{(0+h)-0}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h \to +0}\dfrac{h}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h \to +0}1\\&=&1\end{array}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-90d78fe1725fc03396c5eb83e54ee93a_l3.png)
同様に,
![Rendered by QuickLaTeX.com \begin{array}{lll}f'(0)&=&\displaystyle\lim_{h \to -0} \dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h \to -0}\dfrac{-(0+h)-0}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h \to -0}\dfrac{-h}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h \to -0}-1\\&=&-1\end{array}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-71ee8597dda9d9f7db0a207487e66c3c_l3.png)
【Case3】
![Rendered by QuickLaTeX.com f(x)=\begin{cases}\sqrt{x}\,\,(x\geqq0)\\-\sqrt{-x}\,\, (x<0)\end{cases}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d1685b52a5bf18e96bab9d2e18b9629b_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x=0](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4c2c95e89d8f5c6e0e66407c3fe20028_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \infty](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1b5e5cc05ce0d21929821085da526809_l3.png)
【証明】
![Rendered by QuickLaTeX.com \begin{array}{lll}f'(0)&=&\displaystyle\lim_{h \to +0} \dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h \to +0}\dfrac{\sqrt{0+h}-\sqrt{0}}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h \to +0}\dfrac{\sqrt{h}}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h \to +0}\dfrac{1}{\sqrt{h}}\\&=&\infty\end{array}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2ceb8234d28de428b0f5ad1531edce7d_l3.png)
同様に,
![Rendered by QuickLaTeX.com \begin{array}{lll}f'(0)&=&\displaystyle\lim_{h \to -0} \dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h \to -0}\dfrac{-\sqrt{-(0+h)}-\sqrt{0}}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h \to -0}\dfrac{-\sqrt{-h}}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h \to -0}\dfrac{1}{\sqrt{-h}}\\&=&\infty\end{array}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-972d4520bfe17001621e564f1b4b39ee_l3.png)
これは
![Rendered by QuickLaTeX.com x=0](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4c2c95e89d8f5c6e0e66407c3fe20028_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \infty](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1b5e5cc05ce0d21929821085da526809_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x=0](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4c2c95e89d8f5c6e0e66407c3fe20028_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com y=](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-51c601e204a250f6af80c7ee5351450b_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x=0](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4c2c95e89d8f5c6e0e66407c3fe20028_l3.png)