高校数学：積分・積分方程式の攻め方

こんにちは。今回は積分方程式の解法について書いておきます。

積分方程式の攻め方

まず問題から見ていこう。

【例】等式 $f(x)=2x+\displaystyle\int^3_1f(t)\,dt$ を満たす関数 $f(x)$ を求めよ。

この手の問題では以下のテクニックを使うとうまくいくことがある。

テクニック

$\displaystyle\int^p_qf(t)\,dt=a\, \,$ とおいて処理する。( $p, q$ は定数)

【解答】 $\displaystyle\int^3_1f(t)\,dt=a\cdots\maru1$ とおくと, $f(x)=2x+a$ となる。これを $\maru1$ の左辺に代入すると,
$\begin{array}{lll}\displaystyle\int^3_1(2x+a)\,dt&=&\left[x^2+ax\right]^3_1\\&=&(9+3a)-(1+a)\\&=&8+2a\cdots\maru2\end{array}$
$\maru2$ は $\maru1$ の右辺と等しいので,
$8+2a=a$
$a=-8$
よって, 求める関数 $f(x)$ は,
$f(x)=2x-8$
もう1題やっておこう。

【例】等式 $f(x)=4x^3+\displaystyle\int^2_02xf(t)\,dt+\displaystye\int^1_0f(t)\,dt$ を満たす関数 $f(x)$ を求めよ。

【解答】
(与式) $=4x^3+2x\displaystyle\int^2_0f(t)\,dt+\displaystye\int^1_0f(t)\,dt$ として,
$\displaystyle\int^2_0f(t)\,dt=a\cdots\maru1$ , $\displaystyle\int^1_0f(t)\,dt=b\cdots\maru2$ とおくと,
$f(x)=4x^3+2ax+b$ となるので, これを $\maru1, \maru2$ にそれぞれ代入して, $a, b$ の式をつくる。
$\maru1$ の左辺は,
$\begin{array}{lll}\displaystyle\int^2_0(4t^3+2at+b)\,dt&=&\left[t^4+at^2+bt\right]^2_0\\&=&16+4a+2b\end{array}$
となるので, $4a+2b+16=a$
$3a+2b=-16\cdots\maru3$
$\maru2$ の左辺は,
$\begin{array}{lll}\displaystyle\int^1_0(4t^3+2at+b)\,dt&=&\left[t^4+at^2+bt\right]^1_0\\&=&1+a+b\end{array}$
となるので, $1+a+b=b$
$a=-1\cdots\maru4$
$\maru4$ を $\maru3$ に代入して,
$-3+2b=-16$
$b=-\dfrac{13}{2}$
よって求める関数 $f(x)$ は,
$f(x)=4x^3-2x-\dfrac{13}{2}$

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積分方程式の攻め方

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