高校数学：積分・定積分で表された関数の微分

こんにちは。積分方程式を解くときなんかに役立つ知識なので, しっかり身に付けておきたいですね。

定積分を微分すると

以下 $f(t)$ は $t$ の関数で, $F(x)$ は関数 $f(x)$ の原始関数の1つとする。
定積分で表された関数を微分したときの公式を以下に記す。

$\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int^{x}_af(t)\,dt=f(x)$

【証明】 $\displaystyle\int^{x}_af(t)\,dt=F(x)-F(a)\,\,$ ただし, $F(a)$ は単に定数項であることから, この等式の両辺を $x$ について微分すると,
$\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int^{x}_af(t)\,dt=F'(x)-0=f(x)$
したがって, $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int^{x}_af(t)\,dt=f(x)$

例題

【例】等式 $\displaystyle\int^{x}_af(t)\,dt=x^2-5x-6$ を満たす関数 $f(x)$ と定数 $a$ を求めよ。

【解答】与式の両辺を $x$ について微分すると,
$f(x)=2x-5$ となる。
ここで, $x=a$ として, 与式の両辺に代入すると,
左辺は $\mathrm{0}$ になり, 次の $a$ についての二次方程式ができる。
$a^2-5x-6=0$
これを解くと,
$(a-6)(a+1)=0$
よって, $a=6, -1$
$f(x)=2x-5, a=6, -1\cdots$ (答)
【別解】
$f(x)=2x-5$ となるので, 与式の等式の左辺にこれを代入すると,
$\begin{array}{lll}\displaystyle\int^{x}_a(2t-5)\,dt&=&\left[t^2-5t\right]^{x}_a\\&=&(x^2-5x)-(a^2-5a)\\&=&x^2-5x-a^2+5a\cdots\maru1\end{array}$
$\maru1$ は与式の右辺と恒等的な関係にあるので,
$-a^2+5a=-6$ が成り立つ。
$a^2-5a-6=0$
$(a-6)(a+1)=0$
よって, $a=6, -1$

拡張版の公式

$\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int^{p(x)}_{q(x)}f(t)\,dt=f(p(x))\cdot p'(x)-f(q(x))\cdot q'(x)$

【証明】 $\displaystyle\int^{p(x)}_{q(x)}f(t)\,dt=F(p(x))-F(q(x))$
両辺を $x$ について微分すると,
$\begin{array}{lll}\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int^{p(x)}_{q(x)}f(t)\,dt&=&F'(p(x))\cdot p'(x)-F'(q(x))\cdot q'(x)\\&=&f(p(x))\cdot p'(x)-f(q(x))\cdot q'(x)\end{array}$
したがって, $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int^{p(x)}_{q(x)}f(t)\,dt=f(p(x))\cdot p'(x)-f(q(x))\cdot q'(x)$

例題

【例】等式 $\displaystyle\int^{x^3}_{e^x} \log t\,dt$ を $x$ について微分せよ。

【解答】
$\begin{array}{lll}\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int^{x^3}_{e^x} \log t\,dt&=&\log x^3\cdot (x^3)'-\log e^x\cdot (e^x)'\\&=&3x^2\log x^3-xe^x\end{array}$

定積分を微分すると

例題

拡張版の公式

例題

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