emath：中学数学：攻略・関数と図形(台形の面積の二等分線②)

こんにちは。今回は台形の面積の二等分線ということで, 第一弾に続き, 第二弾をお届けします。

攻略の思考

台形の面積を二等分するときは, どの点を通るのでしょうか。右の台形ABCD(AD $//$ BC)を点Sを通る直線で, 面積を二等分することを考える。
ここで, 図中の点Pは辺ADの中点, 点Qは辺BCの中点で, 点Rは線分PQの中点である。このとき, 点Sと点Rを結ぶ線分が台形の面積を二等分する式である。

理由は台形の面積を二等分するには, 二等分された図形の上底 $+$ 下底が等しいことが前提である。点P, Qを各辺の中点としたのはそのためである。そして, 点Rを線分PQの中点とすることで, 点Sから点Rを通る直線とでできる△TRPと△URQは合同になり, 面積が等しいので, 面積が等しいことが保たれる。結果, 四角形 $\mathrm{ABUT}=$ 四角形 $\mathrm{UCDT}$ となる。ただし, 点T, Uは直線SRと各辺との交点である。
まぁ上底と下底の比を分ければ問題はないかと思うが, こちらの方が取り組みやすい例を挙げて問題を解いてみます。第一弾の台形の面積の攻略とはまた違う観点でお楽しみください。

問題をやってみよう

右の図において, 曲線アは関数 $y=\dfrac14x^2$ のグラフであり, 点A, B, C, Dの $x$ 座標はそれぞれ, $-2, 4, 8, 0$ で, AD $//$ BCである。
このとき, 直線BC上の点E(7, 13)をとおり, 四角形ABCDの面積を二等分する式を求めなさい。

解答

問題より, A $(-2, 1)$ , B(4, 4), C(8, 16), D(0, 7)である。ここで, 四角形ABCDは台形であるから, 線分ADの中点P $(-1,4)$ , 線分BCの中点Q(6, 10)であるから, 線分PQの中点Rの座標は $\left(\dfrac52, 7\right)$ である。よって求める直線の式は,
2点E, Rを通る式で, その式は $y=\dfrac43 x+\dfrac{11}{3}$ である。