emath：中学数学：攻略・関数と図形(台形の面積の二等分線①)

こんにちは。今回は台形の面積の二等分について書いておきます。

例題を見ていこう

【問】右の図のように, 関数 $y=\dfrac{1}{2}x^2$ のグラフ上に点A $(-4, 8)$ , B $(-2, 2)$ , C $(2, 2)$ , D $(4, 8)$ を頂点とする四角形を作るとき, 頂点Bを通って四角形ABCDの面積を2等分する式を求めなさい。

この手の問題の処理方法は, 四角形ABCDは台形であることが多く(別に平行四辺形でもOK), 面積の2等分は(上底 $+$ 下底)を2等分すればよい。高さの等しい図形の面積比は(上底 $+$ 下底)で表わされるからである(以下図参照)。

したがって, 上の問題では上底 $+$ 下底 $=\maru{8}+\maru{4}=\maru{12}$ となり, この $\maru{12}$ を2等分すれば, 面積は2等分されることになる。このとき求める直線は頂点Bを通ることから, 直線で分けられる図形は三角形と四角形(台形)になる。したがって, この三角形の底辺と台形の上底と下底の和をともに $\maru{12}\div2=\maru{6}$ にするとよい。下底が $\maru{4}$ なので, 上底は $\maru{2}$ となる。つまり求める直線は, 点Bと点Dを左に2移動させた点P(2, 8)の2点を通る直線の式である。したがって, 求める直線の式は $y=\dfrac{3}{2}x+5$ である。