高校数学：数III積分・定積分の部分積分法

2022年5月10日2022年5月26日

こんにちは。今回は定積分の部分積分法について書いておきます。

定積分の部分積分法

定積分の部分積分法は次のように行います。
$\displaystyle\int^b_a f(x)\cdot g(x)\,dx=\left[f(x)\cdot G(x)\right]^b_a-\displaystyle\int^b_af'(x)\cdot G(x)\,dx$
※ $G(x)$ は $g(x)$ を積分したもの, $f'(x)$ は $f(x)$ を微分したものである。

定積分の部分積分法の例

計算例
【例】次の定積分を求めよ。
$\displaystyle\int^2_1x\log x\,dx$
【解法例】
$\begin{array}{lll}\displaystyle\int^2_1x\log x\,dx&=&\displaystyle\int^2_1\left(\dfrac12x^2\right)'\cdot\log x\,dx\\&=&\left[\dfrac12x^2\cdot\log x\right]^2_1-\displaystyle\int^2_1\dfrac12x^2\cdot\dfrac1x\,dx\\&=&2\log2-\dfrac12\displaystyle\int^2_1x\,dx\\&=&2\log2-\dfrac12\left[\dfrac12x^2\right]^2_1\\&=&2\log2-\dfrac34\end{array}$