高校数学：数III積分・定積分の置換積分法

こんにちは。今回は置換積分について書いておきます。

tとおくと積分範囲も変わる

例えば以下の問題を置換積分で解いてみよう。
【例】次の定積分を求めよ。
$\displaystyle\int^2_0\dfrac{x}{x^2+1}\,dx$
【解法例】 $x^2+1=t$ とおくと,
今, $x$ の積分範囲は $0\longrightarrow2$ ですが, $x^2+1$ を $t$ で置き換えて積分するので, $t$ の積分区間を求める必要があります。このとき, $x=0$ を $x^2+1=t$ に代入すると, $t=1$ で, $x=2$ を代入すると, $t=5$ なので, $t$ の積分区間は $1$ から $5$ となります。この流れをよく,
$\begin{array}{ccccc}x &:& 0&\longrightarrow&2\\t &: &1&\longrightarrow&5\end{array}$
と表現します。
このように定積分の置換積分では, 不定積分と違って積分区間を再考する必要があります。
あとは不定積分と流れは同じです。
$2x\,dx=dt$ より, $x\,dx=\dfrac12\,dt$ であるから,
$\begin{array}{lll}\displaystyle\int^2_0\dfrac{x}{x^2+1}\,dx&=&\dfrac12\displaystyle\int^5_1\dfrac1t\,dt\\&=&\dfrac12\left[\log t\right]^5_1\\&=&\dfrac12\left(\log5-\log1\right)\\&=&\log\sqrt5\end{array}$