高校数学：数III極限・等比数列の極限・場合分けの問題

こんにちは。今回は極限のところでよく出題される場合分けの問題についてです。

例題を見てみよう

【例題】 $r$ を正の定数とするとき, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{r^{n-1}-5^{n+1}}{r^n+5^{n-1}}$ を求めよ。

【解法のための思考】
$r$ と $5$ の大小関係が攻略のカギとなります。それは以下の関係が成り立つからです。
$\maru1$ 　 $0<r<5$ なら, $0<\dfrac{r}{5}<1$ となるため,
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\dfrac{r}{5}\right)^n=0$
$\maru2$ 　 $r=5$ なら, $\dfrac{r}{5}=1$ となるため,
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\dfrac{5}{5}\right)^n=1$
$\maru3$ 　 $r>5$ なら, $0<\dfrac{5}{r}<1$ となるため,
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\dfrac{5}{r}\right)^n=0$
この3パターンに場合分けして解答していくのが, この手の問題の攻略のポイントになります。
【解答例】
$\maru1$ 　 $0<r<5$ のとき,
$\begin{array}{lll}\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{r^{n-1}-5^{n+1}}{r^n+5^{n-1}}&=&\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{\left(\frac{r}{5}\right)^{n-1}-5^2}{r\cdot\left(\frac{r}{5}\right)^{n-1}+1}\\&=&\dfrac{0-25}{r\cdot0+1}\\&=&-25\end{array}$
$\maru2$ 　 $r=5$ のとき,
$\begin{array}{lll}\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{5^{n-1}-5^{n+1}}{5^n+5^{n-1}}&=&\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1-5^2}{5+1}\\&=&\dfrac{1-25}{6}\\&=&-4\end{array}$
$\maru3$ 　 $r>5$ のとき,
$\begin{array}{lll}\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{r^{n-1}-5^{n+1}}{r^n+5^{n-1}}&=&\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1-5^2\cdot\left(\frac{5}{r}\right)^{n-1}}{r+\left(\frac{5}{r}\right)^{n-1}}\\&=&\dfrac{1-25\cdot0}{r+0}\\&=&\dfrac{1}{r}\end{array}$

問題をやってみよう

$a$ を正の定数とするとき, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{a^{n}-1}{a^{n}+1}$ を求めよ。

解答　クリックしてください

$a$ と $1$ の大小関係に着目して場合分けを行う。
$\maru1$ 　 $0<a<1$ のとき,
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{a^n-1}{a^n+1}=\dfrac{0-1}{0+1}=-1$
$\maru2$ 　 $a=1$ のとき,
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{a^n-1}{a^n+1}=\dfrac{1-1}{1+1}=0$
$\maru3$ 　 $a>1$ のとき,
$\begin{array}{lll}\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{a^n-1}{a^n+1}&=&\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1-\left(\frac{1}{a}\right)^n}{1+\left(\frac{1}{a}\right)^n}\\&=&\dfrac{1-0}{1+0}\\&=&1\end{array}$