高校数学：数III極限・等比数列の極限

こんにちは。今回は等比数列の極限について書いておきます。

r^nの極限と収束条件

{r^n}の極限

$\maru1$ 　 $-1<r<1$ のとき, $\displaystyle\lim_{n\to\infty} r^n=0\cdots$ 収束
$\maru2$ 　 $r=1$ のとき, $\displaystyle\lim_{n\to\infty} r^n=1\cdots$ 収束
$\maru3$ 　 $r>1$ のとき, $\displaystyle\lim_{n\to\infty} r^n=\infty\cdots$ 発散
$\maru4$ 　 $r\leqq-1$ のとき, 振動する $\cdots$ 発散(極限なし)
したがって $r^n$ の収束条件は

r^nの収束条件

$\{r^n\}$ の収束条件
$-1<r\leqq1$

例題を見てみよう

等比数列の一般項が次の式で与えられるとき, その数列の極限を調べよ。

(1) $\left(\dfrac45\right)^n$

$\dfrac45<1$ より, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\dfrac45\right)^n=0$

(2) $\left(\dfrac{1}{\sqrt2-1}\right)^n$

$\dfrac{1}{\sqrt2-1}=\dfrac{\sqrt2+1}{\left(\sqrt2-1\right)\left(\sqrt2+1\right)}=\sqrt2+1>1$
より, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\dfrac{1}{\sqrt2-1}\right)^n=\infty$

(3) $\left(-\sqrt3\right)^n$

$-\sqrt3<-1$ より, 振動する。

(4) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{2^n+5^n}{3^n+5^n}$

分母分子を $5^n$ で割ると,
$\dfrac{\left(\frac25\right)^n+1}{\left(\frac35\right)^n+1}$ よって,
(与式) $=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{\left(\frac25\right)^n+1}{\left(\frac35\right)^n+1}=1$

(5) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left\{4^n+(-3)^n\right\}$

$4^n+(-3)^n=4^n\left\{1+\left(-\dfrac{3}{4}\right)^n\right\}$
ここで,
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}4^n=\infty$
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left\{1+\left(-\dfrac34\right)^n\right\}=1$
であるから,
(与式) $=\displaystyle\lim_{n\to\infty}4^n\left\{1+\left(-\dfrac{3}{4}\right)^n\right\}=\infty$