高校数学:数III極限・数列間の極限の関係とはさみうちの原理

こんにちは。今回は数列間の極限の関係と”はさみうちの原理”について書いておきます。

数列間の極限の関係

数列\{a_n\}, \{b_n\}の大小関係が,
a_n\leqq b_n (n=1, 2, 3, \cdots)
のとき,
\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=\alpha, \displaystyle\lim_{n\to\infty} b_n=\beta
なら,
\alpha\leqq\beta
特に,

a_n\leqq x_n\leqq b_n (n=1, 2, 3, \cdots)のとき,
\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=\displaystyle\lim_{n\to\infty} b_n=\alpha
なら,
\displaystyle\lim_{n\to\infty} x_n=\alpha
この原理をはさみうちの原理という。

はさみうちの原理を用いた例題
【例】\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{\cos n\theta}{n}を求めよ。
【解答例】
-1\leqq\cos n\theta\leqq1なので, 辺々nで割って
-\dfrac1n\leqq\dfrac{\cos n\theta}{n}\leqq\dfrac1n
ここで, 辺々の極限をとると,
\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(-\dfrac1n\right)\leqq\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{\cos n\theta}{n}\leqq\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac1n
となり,
\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(-\dfrac1n\right)=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac1n=0なので,
\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{\cos n\theta}{n}=0

発散の判定方法

\maru1 a_n\leqq x_n (n=1, 2, 3, \cdots)のとき,
\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\inftyなら, \displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=\infty
\maru2 x_n\leqq a_n (n=1, 2, 3, \cdots)のとき,
\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=-\inftyなら, \displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=-\infty

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