高校数学：数III極限・数列間の極限の関係とはさみうちの原理

こんにちは。今回は数列間の極限の関係と”はさみうちの原理”について書いておきます。

数列間の極限の関係

数列 $\{a_n\}$ , $\{b_n\}$ の大小関係が,
$a_n\leqq b_n$ 　 $(n=1, 2, 3, \cdots)$
のとき,
$\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=\alpha$ , $\displaystyle\lim_{n\to\infty} b_n=\beta$
なら,
$\alpha\leqq\beta$
特に,

$a_n\leqq x_n\leqq b_n$ 　 $(n=1, 2, 3, \cdots)$ のとき,
$\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=\displaystyle\lim_{n\to\infty} b_n=\alpha$
なら,
$\displaystyle\lim_{n\to\infty} x_n=\alpha$
この原理をはさみうちの原理という。

はさみうちの原理を用いた例題
【例】 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{\cos n\theta}{n}$ を求めよ。
【解答例】
$-1\leqq\cos n\theta\leqq1$ なので, 辺々 $n$ で割って
$-\dfrac1n\leqq\dfrac{\cos n\theta}{n}\leqq\dfrac1n$
ここで, 辺々の極限をとると,
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(-\dfrac1n\right)\leqq\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{\cos n\theta}{n}\leqq\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac1n$
となり,
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(-\dfrac1n\right)=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac1n=0$ なので,
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{\cos n\theta}{n}=0$

発散の判定方法

$\maru1$ 　 $a_n\leqq x_n$ 　 $(n=1, 2, 3, \cdots)$ のとき,
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\infty$ なら, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=\infty$
$\maru2$ 　 $x_n\leqq a_n$ 　 $(n=1, 2, 3, \cdots)$ のとき,
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=-\infty$ なら, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=-\infty$

数列間の極限の関係

発散の判定方法

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