高校数学：数III極限・無限級数と収束, 発散

こんにちは。今回は無限級数について書いておきます。

無限級数

無限級数とは
$\displaystyle\sum^\infty_{n=1} a_n=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n+\cdots$ を無限級数という。
部分和について
$S_n=\displaystyle\sum^n_{k=1} a_k$ をこの無限級数の初項から第 $n$ 項までの部分和という。
$\displaystyle\lim_{n\to\infty} S_n=S$ なら, この無限級数は収束して和 $S$ をもつ。
数列 $\{S_n\}$ が発散するなら, この無限級数は発散するという。

問題を見てみよう

【例】無限級数 $\displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}\dfrac{1}{n(n+1)}$ の収束, 発散を調べ, 収束するときは, その和を求めよ。

【解法例】無限和を考えるのも部分和の延長なので, 部分和を考える考え方でいく。したがってこの場合, 部分分数分解して考えることにする。
問題の部分和 $S_n$ は,
$\begin{array}{lll}S_n&=&\displaystyle\sum^n_{k=1}\dfrac{1}{k(k+1)}\\&=&\displaystyle\sum^n_{k=1}\left(\dfrac1k-\dfrac{1}{k+1}\right)\\&=&\left(\dfrac11-\dfrac12\right)+\left(\dfrac12-\dfrac13\right)+\left(\dfrac13-\dfrac14\right)+\cdots+\left(\dfrac1n-\dfrac{1}{n+1}\right)\\&=&1-\dfrac{1}{n+1}\end{array}$
よって,
$\displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}\dfrac{1}{n(n+1)}=\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)=1$
ゆえに, この無限級数は収束し, その和は1になる。

【例】無限級数 $\displaystyle\sum^\infty_{n=1}\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$ の収束, 発散を調べ, 収束するときは, その和を求めよ。

【解法例】分母の有理化をして考える。
$\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$
なので, これを用いて部分和を考えると,
$\begin{array}{lll}S_n&=&\displaystyle\sum^n_{k=1}\dfrac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}\\&=&\displaystyle\sum^n_{k=1}\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)\\&=&\left(\sqrt2-\sqrt1\right)+\left(\sqrt3-\sqrt2\right)+\left(\sqrt4-\sqrt3\right)+\cdots+\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\\&=&\sqrt{n+1}-1\end{array}$
よって,
$\displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n+1}-1\right)=\infty$
ゆえに, この無限級数は発散する。

無限級数

問題を見てみよう

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