TikZ：高校数学：数III極限・無限等比級数と関数

こんにちは。今回は無限級数の収束条件を用いた問題です。それでは問題を見ていきましょう。

無限等比級数と関数

【例】無限等比級数
$x^2+x+\dfrac{x^2+x}{x^2+x+1}+\dfrac{x^2+x}{(x^2+x+1)^2}+\cdots+\dfrac{x^2+x}{(x^2+x+1)^{n-1}}+\cdots$
について, 次の問いに答えよ。
(1) この級数が収束するための実数 $x$ の範囲を求めよ。
(2) $x$ が(1)の範囲にあるとき, この級数の和を求めよ。
(3) (2)で求めた和を関数 $f(x)$ とするとき, それを図示せよ。

【解答例】
(1)　この級数は, 初項 $x^2+x$ , 公比 $\dfrac{1}{x^2+x+1}$ であり, $x^2+x+1=\left(x+\dfrac12\right)^2+\dfrac34>0\cdots\maru1$ なので, この級数が収束する条件は, 初項が $0$ か, 公比の絶対値が $1$ より小さいかになる。公比に関しては, $\maru1$ から $0$ より大きいことがわかっている。したがって,
$x^2+x=0\cdots\maru2$ , $0<\dfrac{1}{x^2+x+1}<1\cdots\maru3$
が求める条件になる。
$\maru2$ のとき, $x(x+1)=0$ より, $x=0, -1$
$\maru3$ のとき, 分母が1より大きいことが条件になるので,
$x^2+x+1>1$
$x^2+x>0$
$x(x+1)>0$
よって, $x>0, x<-1$
以上より, 求める条件は, $x\geqq0, x\leqq-1\cdots$ (答)
(2)　 $x=0, -1$ のとき, (初項) $=0$ より, 和は $0$
$x>0, x<-1$ のとき, 和は,
$\dfrac{x^2+x}{1-\dfrac{1}{x^2+x+1}}=\dfrac{x^2+x}{\dfrac{x^2+x}{x^2+x+1}}=x^2+x+1$
以上より,
$x=0, -1$ のとき, $0$
$x>0, x<-1$ のとき, $x^2+x+1$
(3)　(2)より,
$x=0, -1$ のとき, $f(x)=0$
$x>0, x<-1$ のとき, $f(x)=x^2+x+1$
としてグラフを描くと,