TikZ:高校数学:数III極限・無限等比級数と関数

こんにちは。今回は無限級数の収束条件を用いた問題です。それでは問題を見ていきましょう。

無限等比級数と関数

【例】無限等比級数
x^2+x+\dfrac{x^2+x}{x^2+x+1}+\dfrac{x^2+x}{(x^2+x+1)^2}+\cdots+\dfrac{x^2+x}{(x^2+x+1)^{n-1}}+\cdots
について, 次の問いに答えよ。
(1) この級数が収束するための実数xの範囲を求めよ。
(2) xが(1)の範囲にあるとき, この級数の和を求めよ。
(3) (2)で求めた和を関数f(x)とするとき, それを図示せよ。

【解答例】
(1) この級数は, 初項x^2+x, 公比\dfrac{1}{x^2+x+1}であり, x^2+x+1=\left(x+\dfrac12\right)^2+\dfrac34>0\cdots\maru1なので, この級数が収束する条件は, 初項が0か, 公比の絶対値が1より小さいかになる。公比に関しては, \maru1から0より大きいことがわかっている。したがって,
x^2+x=0\cdots\maru2, 0<\dfrac{1}{x^2+x+1}<1\cdots\maru3
が求める条件になる。
\maru2のとき, x(x+1)=0より, x=0, -1
\maru3のとき, 分母が1より大きいことが条件になるので,
x^2+x+1>1
x^2+x>0
x(x+1)>0
よって, x>0, x<-1
以上より, 求める条件は, x\geqq0, x\leqq-1\cdots(答)
(2) x=0, -1のとき, (初項)=0より, 和は0
x>0, x<-1のとき, 和は,
\dfrac{x^2+x}{1-\dfrac{1}{x^2+x+1}}=\dfrac{x^2+x}{\dfrac{x^2+x}{x^2+x+1}}=x^2+x+1
以上より,
x=0, -1のとき, 0
x>0, x<-1のとき, x^2+x+1
(3) (2)より,
x=0, -1のとき, f(x)=0
x>0, x<-1のとき, f(x)=x^2+x+1
としてグラフを描くと,

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チェック

無限級数の収束条件を絡める問題は多いので押さえておきましょう。

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