高校数学：数III極限・無限級数の収束, 発散の判定法

こんにちは。今回は無限級数の収束, 発散の判定法について書いておきます。を

部分和を基にして考える

無限級数の部分和 $S_n$ が求まれば,
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n$ が, 一定の数 $S$ になるなら, 収束するし, それ以外なら発散することになる。
このとき,
$\displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}a_n$ が収束するならば, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0\cdots\maru1$
が言える。以下に証明を記す。
【証明】
$\displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}a_n$ が収束するとして, その和を $S$ とおく。また, 部分和 $S_n$ を, $S_n=\displaystyle\sum^n_{k=1}a_k$ とすると,
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_{n-1}=S$ であるから,
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(S_n-S_{n-1}\right)=S-S=0$ (証明終)
また, $\maru1$ の対偶は,
無限級数 $\{a_n\}$ が $0$ に収束しないとき, $\displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}a_n$ は発散する。
であり, この証明からこのことも言える。

気を付けること

上の $\maru1$ で逆は成り立たないということです。
$\maru1$ の逆は,
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0$ ならば, $\displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}a_n$ は収束する。
ですが, 感覚的には $a_n$ がどんどん小さくなっていくことで, 間違いないですが, それで収束するかというと, そうではありません。
反例はこちらから抜粋して以下に書く。

【例】無限級数 $\displaystyle\sum^\infty_{n=1}\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$ の収束, 発散を調べ, 収束するときは, その和を求めよ。

【着眼】問題の $\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$ は, 明らかに, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=0$ だが, 以下のように $\infty$ に発散する。
【解法例】分母の有理化をして考える。
$\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$
なので, これを用いて部分和を考えると,
$\begin{array}{lll}S_n&=&\displaystyle\sum^n_{k=1}\dfrac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}\\&=&\displaystyle\sum^n_{k=1}\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)\\&=&\left(\sqrt2-\sqrt1\right)+\left(\sqrt3-\sqrt2\right)+\left(\sqrt4-\sqrt3\right)+\cdots+\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\\&=&\sqrt{n+1}-1\end{array}$
よって,
$\displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n+1}-1\right)=\infty$
ゆえに, この無限級数は発散する。