高校数学：数III極限・関数の極限の大小とはさみうちの原理

2022年5月15日2022年5月26日

今回は関数の極限の大小について書いておきます。

関数の極限値の大小

$x=a$ の近くで, $f(x)\leqq g(x)$ が成り立ち,
$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\alpha$ , $\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=\beta$ ならば, $\alpha\leqq\beta$

はさみうちの原理

はさみうちの原理
$x=a$ の近くで, $f(x)\leqq g(x)\leqq h(x)$ が成り立ち,
$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to a}h(x)=\alpha$ ならば, $\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=\alpha$

問題を見てみよう

【例】極限 $\displaystyle\lim_{x\to \infty}\dfrac{\sin x}{x}$ を調べよ。
【解法例】
$-1\leqq\sin x\leqq1$ であり, 両辺 $x$ で割って, $-\dfrac{1}{x}\leqq\dfrac{\sin x}{x}\leqq\dfrac{1}{x}$
ここで, $\displaystyle\lim_{x\to \infty}-\dfrac{1}{x}=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\dfrac1x=0$ なので,
$\displaystyle\lim_{x\to \infty}\dfrac{\sin x}{x}=0$