高校数学:数III極限・ガウス記号と極限

こんにちは。今回はガウス記号と極限について書いておきます。

ガウス記号とは

ガウス記号は[ ]で表され, 意味は[ ]内の数を越えない最大の整数という意味である。
つまり,
[\, 2\, ]=2, [\, 3.4\, ]=3, [\, -3.4\, ]=-4
という具合になる。

ガウス記号の性質

ガウス記号については, 次の事が言える。
\maru1 整数kが, k\leqq x<k+1を満たすとき, [\, x\, ]=kとなる。
\maru2 [\, x\, ]\leqq x<[\, x\, ]+1

問題を見てみよう

【例】実数xに対して, xを越えない最大の整数を[\, x\, ]で表す。このとき,
\displaystyle\lim_{x\to2+0}\dfrac{[\,x\,]}{3}, \displaystyle\lim_{x\to2-0}\dfrac{[\, x\,]}{3}
を求めよ。

【解答例】
x\to2+0ということは, 2<x<3としてよいので, このとき, [\,x\,]=2
x\to2-0ということは, 1<x<2としてよいので, このとき, [\,x\,]=1
これをふまえて極値を調べると,
\displaystyle\lim_{x\to2+0}\dfrac{[\,x\,]}{3}=\dfrac23
\displaystyle\lim_{x\to2-0}\dfrac{[\,x\,]}{3}=\dfrac13

【例】極限\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{[\,x\,]}{x}を調べよ。ただし, [\, x\,]xを越えない最大の整数とする。

【解答例】すべての実数xに対して,
[\, x\,]\leqq x<[\, x\, ]+1\cdots\maru1であるから, x<[\, x\, ]+1より, x-1<[\, x\,]でこれと, \maru1[\, x\,]\leqq xと合わせて, x-1<[\, x\, ]\leqq x\cdots\maru2
x\to\inftyなので, x>0としてよい。
このとき, \maru2の辺々をxで割ると,
1-\dfrac1x<\dfrac{[\, x\,]}{x}\leqq 1
ここで, \displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1-\dfrac1x\right)=1
よって, はさみうちの原理より,
\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{[\,x\,]}{x}=1

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 が付いている欄は必須項目です

日本語が含まれない投稿は無視されますのでご注意ください。(スパム対策)