TikZ:高校数学:数III極限・指数関数の極限

こんにちは。今回は指数関数の極限について書いておきます。

グラフの概形から捉えよう

指数関数y=a^xa>0かつa\neq1を満たす関数で, 定義域はすべての実数xである。
指数関数のグラフを描くと次のようになる。
a>1のとき,

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0<a<1のとき,

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指数関数の極限

上のグラフからもわかるように, aのとる範囲で指数関数の極限が変わってくる。

指数関数の極限

\maru1 a>1のとき,
\displaystyle\lim_{x\to\infty} a^x=\infty, \displaystyle\lim_{x\to-\infty} a^x=0
\maru2 0<a<1のとき,
\displaystyle\lim_{x\to\infty} a^x=0, \displaystyle\lim_{x\to-\infty} a^x=\infty

問題を見てみよう

【例】次の極限値を求めよ。
(1) \displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{5^x+7^x}{5^x-7^x}
(2) \displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{5^x+7^x}{5^x-7^x}

【解答例】
(1) x\to\inftyのときは, 分母のaの最も大きいもの(ここでは7^x)で分母分子を割ると求めやすい。
\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{5^x+7^x}{5^x-7^x}=\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{\left(\dfrac{5}{7}\right)^x+1}{\left(\dfrac{5}{7}\right)^x-1}=\dfrac{1}{-1}=-1
(2) x\to-\inftyのときは, t=-xとおいて, t\to\inftyに置換して行うとよい。
t=-xとおくと,
\begin{array}{ccc}x&\to&-\infty\\t&\to&\infty\end{array}
\begin{array}{lll}\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{5^x+7^x}{5^x-7^x}&=&\displaystyle\lim_{t\to\infty}\dfrac{5^{-t}+7^{-t}}{5^{-t}-7^{-t}}\\&=&\dfrac{\dfrac{1}{5^t}+\dfrac{1}{7^t}}{\dfrac{1}{5^t}-\dfrac{1}{7^t}}\\&=&\dfrac{1+\left(\dfrac57\right)^t}{1-\left(\dfrac57\right)^t}\\&=&1\end{array}

解法のコツ

\maru1 x\to\inftyなら, 分母分子を分母の最も大きい数で割り, 収束する形をつくっていくとよい。
\maru2 x\to-\inftyなら, t=-xと置換して解いていくと勘違いを防ぐことができる。


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