TikZ:高校数学:数III極限・対数関数の極限

こんにちは。今回は対数関数の極限について書いておきます。

グラフの概形から捉えよう

対数関数y=\log_a{x}a>0かつa\neq1を満たす関数で, 定義域は実数x>0である。
対数関数のグラフを描くと次のようになる。
a>1のとき,

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0<a<1のとき,

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対数関数の極限

上のグラフからもわかるように, aのとる範囲で指数関数の極限が変わってくる。

対数関数の極限

\maru1 a>1のとき,
\displaystyle\lim_{x\to\infty} \log_a{x}=\infty, \displaystyle\lim_{x\to+0} \log_a{x}=-\infty
\maru2 0<a<1のとき,
\displaystyle\lim_{x\to\infty} \log_a{x}=-\infty, \displaystyle\lim_{x\to+0} \log_a{x}=\infty

問題を見てみよう

【例】次の極限を調べよ。
(1) \displaystyle\lim_{x\to2+0}\log_{\frac13}(x-2)
(2) \displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\log_2\sqrt{3x^2+2}-\log_2{x}\right)

【解答例】
(1) x\to2+0のときx-2が分かりにくいので, t=x-2とおいて, 考えてみる。
t=x-2とおくと,
\begin{array}{ccc}x&\to&2+0\\t&\to&+0\end{array}
となるので,
\displaystyle\lim_{x\to2+0}\log_{\frac13}(x-2)=\displaystyle\lim_{t\to+0}\log_{\frac13}t=\infty
(2) この場合, 2項をまとめて, \logの中の極限を考えるとよい。
したがって,
\begin{array}{lll}\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\log_2\sqrt{3x^2+2}-\log_2{x}\right)&=&\displaystyle\lim_{x\to\infty}\log_2{\dfrac{\sqrt{3x^2+2}}{x}}\\&=&\displaystyle\lim_{x\to\infty}\log_2{\dfrac{x\sqrt{3+\dfrac{2}{x^2}}}{x}}\\&=&\displaystyle\lim_{x\to\infty}\log_2\sqrt{3+\dfrac{2}{x^2}}\\&=&\log_2\sqrt3\end{array}

解法のコツ

\maru1 \logの中身が考えにくいときは, t=(\logの中身)とおいて, 極限をとると考えやすい。
\maru2 \logの項が分かれているときは, \logの性質\log_aM-\log_aN=\log_a{\dfrac{M}{N}}\log_aM+\log_aN=\log_aMNを用いて1つにまとめて, \logの中身の極限を考えるとよい。

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