TikZ：高校数学：数III極限・対数関数の極限

こんにちは。今回は対数関数の極限について書いておきます。

グラフの概形から捉えよう

対数関数 $y=\log_a{x}$ は $a>0$ かつ $a\neq1$ を満たす関数で, 定義域は実数 $x>0$ である。
対数関数のグラフを描くと次のようになる。
$a>1$ のとき,

$0<a<1$ のとき,

対数関数の極限

上のグラフからもわかるように, $a$ のとる範囲で指数関数の極限が変わってくる。

対数関数の極限

$\maru1$ 　 $a>1$ のとき,
$\displaystyle\lim_{x\to\infty} \log_a{x}=\infty$ , $\displaystyle\lim_{x\to+0} \log_a{x}=-\infty$
$\maru2$ 　 $0<a<1$ のとき,
$\displaystyle\lim_{x\to\infty} \log_a{x}=-\infty$ , $\displaystyle\lim_{x\to+0} \log_a{x}=\infty$

問題を見てみよう

【例】次の極限を調べよ。
(1)　 $\displaystyle\lim_{x\to2+0}\log_{\frac13}(x-2)$
(2)　 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\log_2\sqrt{3x^2+2}-\log_2{x}\right)$

【解答例】
(1)　 $x\to2+0$ のとき $x-2$ が分かりにくいので, $t=x-2$ とおいて, 考えてみる。
$t=x-2$ とおくと,
$\begin{array}{ccc}x&\to&2+0\\t&\to&+0\end{array}$
となるので,
$\displaystyle\lim_{x\to2+0}\log_{\frac13}(x-2)=\displaystyle\lim_{t\to+0}\log_{\frac13}t=\infty$
(2)　この場合, 2項をまとめて, $\log$ の中の極限を考えるとよい。
したがって,
$\begin{array}{lll}\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\log_2\sqrt{3x^2+2}-\log_2{x}\right)&=&\displaystyle\lim_{x\to\infty}\log_2{\dfrac{\sqrt{3x^2+2}}{x}}\\&=&\displaystyle\lim_{x\to\infty}\log_2{\dfrac{x\sqrt{3+\dfrac{2}{x^2}}}{x}}\\&=&\displaystyle\lim_{x\to\infty}\log_2\sqrt{3+\dfrac{2}{x^2}}\\&=&\log_2\sqrt3\end{array}$

解法のコツ

$\maru1$ 　 $\log$ の中身が考えにくいときは, $t=$ ( $\log$ の中身)とおいて, 極限をとると考えやすい。
$\maru2$ 　 $\log$ の項が分かれているときは, $\log$ の性質 $\log_aM-\log_aN=\log_a{\dfrac{M}{N}}$ や $\log_aM+\log_aN=\log_aMN$ を用いて1つにまとめて, $\log$ の中身の極限を考えるとよい。