高校数学：数III極限・三角関数の極限

こんにちは。今回は三角関数の極限について書いておきます。

三角関数の極限の公式

三角関数の極限の重要公式

$\maru1$ 　 $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1$
$\maru2$ 　 $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\tan x}{x}=1$
$\maru3$ 　 $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}=\dfrac12$

$\maru1$ の性質は証明なしで用いてよい。ちなみに証明はこちら
また, 次のような性質がある。
$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin\rule{5mm}{3mm}}{\rule{5mm}{3mm}}=1$ , $\,\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\rule{5mm}{3mm}}{\sin\rule{5mm}{3mm}}=1$
ただし, $\rule{5mm}{3mm}$ は $x\to0$ のとき, $\rule{5mm}{3mm}\to0$ になる関数が入る。
$\maru2$ の証明
$\begin{array}{lll}\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\tan x}{x}&=&\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{\cos x}\cdot\dfrac{1}{x}\\&=&\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}\cdot\dfrac{1}{\cos x}\\&=&1\end{array}$
(証明終)
また, 次のような性質がある。
$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\tan\rule{5mm}{3mm}}{\rule{5mm}{3mm}}=1$ , $\,\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\rule{5mm}{3mm}}{\tan\rule{5mm}{3mm}}=1$
ただし, $\rule{5mm}{3mm}$ は $x\to0$ のとき, $\rule{5mm}{3mm}\to0$ になる関数が入る。
$\maru3$ の証明
$\begin{array}{lll}\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}&=&\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{x^2(1+\cos x)}\\&=&\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos^2x}{x^2(1+\cos x)}\\&=&\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin^2x}{x^2(1+\cos x)}\\&=&\displaystyle\lim_{x\to0}\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^2\cdot\dfrac{1}{1+\cos x}\\&=&\dfrac12\end{array}$
(証明終)

問題を見てみよう

【例】次の極限値を求めよ。
(1)　 $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin 3x}{x}$
(2)　 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}2x\tan\dfrac{1}{x}$
(3)　 $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos4x}{x^2}$

【解答例】
(1)　 $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin 3x}{x}=\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin 3x}{3x}\cdot3=3$
(2)　 $x\to\infty$ なので, $t=\dfrac1x$ とおく, このとき, $x=\dfrac1t$ で,
$\begin{array}{ccc}x&\to&\infty\\t&\to&0\end{array}$
よって,
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}2x\tan\dfrac{1}{x}&=&\displaystyle\lim_{t\to0}2\cdot\dfrac{\tan t}{t}=2$
(3)
$\begin{array}{lll}\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos4x}{x^2}&=&\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{(1-\cos4x)(1+\cos4x)}{x^2(1+\cos4x)}\\&=&\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{1-\cos^24x}{x^2(1+\cos4x)}\\&=&\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{\sin^24x}{x^2(1+\cos4x)}\\&=&\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\dfrac{\sin4x}{4x}\right)^2\cdot16\cdot\dfrac{1}{1+\cos4x}\\&=&1\cdot16\cdot\dfrac12\\&=&8\end{array}$