高校数学:数III極限・三角関数の極限

こんにちは。今回は三角関数の極限について書いておきます。

三角関数の極限の公式

三角関数の極限の重要公式

\maru1 \displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1
\maru2 \displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\tan x}{x}=1
\maru3 \displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}=\dfrac12

\maru1の性質は証明なしで用いてよい。
また, 次のような性質がある。
\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin\rule{5mm}{3mm}}{\rule{5mm}{3mm}}=1, \,\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\rule{5mm}{3mm}}{\sin\rule{5mm}{3mm}}=1
ただし, \rule{5mm}{3mm}x\to0のとき, \rule{5mm}{3mm}\to0になる関数が入る。
\maru2の証明
\begin{array}{lll}\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\tan x}{x}&=&\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{\cos x}\cdot\dfrac{1}{x}\\&=&\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}\cdot\dfrac{1}{\cos x}\\&=&1\end{array}
(証明終)
また, 次のような性質がある。
\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\tan\rule{5mm}{3mm}}{\rule{5mm}{3mm}}=1, \,\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\rule{5mm}{3mm}}{\tan\rule{5mm}{3mm}}=1
ただし, \rule{5mm}{3mm}x\to0のとき, \rule{5mm}{3mm}\to0になる関数が入る。
\maru3の証明
\begin{array}{lll}\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}&=&\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{x^2(1+\cos x)}\\&=&\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos^2x}{x^2(1+\cos x)}\\&=&\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin^2x}{x^2(1+\cos x)}\\&=&\displaystyle\lim_{x\to0}\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^2\cdot\dfrac{1}{1+\cos x}\\&=&\dfrac12\end{array}
(証明終)

問題を見てみよう

【例】次の極限値を求めよ。
(1) \displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin 3x}{x}
(2) \displaystyle\lim_{x\to\infty}2x\tan\dfrac{1}{x}
(3) \displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos4x}{x^2}

【解答例】
(1) \displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin 3x}{x}=\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin 3x}{3x}\cdot3=3
(2) x\to\inftyなので, t=\dfrac1xとおく, このとき, x=\dfrac1tで,
\begin{array}{ccc}x&\to&\infty\\t&\to&0\end{array}
よって,
\displaystyle\lim_{x\to\infty}2x\tan\dfrac{1}{x}&=&\displaystyle\lim_{t\to0}2\cdot\dfrac{\tan t}{t}=2
(3)
\begin{array}{lll}\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos4x}{x^2}&=&\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{(1-\cos4x)(1+\cos4x)}{x^2(1+\cos4x)}\\&=&\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{1-\cos^24x}{x^2(1+\cos4x)}\\&=&\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{\sin^24x}{x^2(1+\cos4x)}\\&=&\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\dfrac{\sin4x}{4x}\right)^2\cdot16\cdot\dfrac{1}{1+\cos4x}\\&=&1\cdot16\cdot\dfrac12\\&=&8\end{array}

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