高校数学:数III極限:lim[x→0] sinx/x=1のなぜ・グラフ付き

こんにちは。数IIIの極限のところで出てくる有名な公式です。これまた有名な証明方法で示していきましょう。最後にグラフの概形を載せています。

公式

公式

\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1

証明

以下の図形を用いて証明を行っていきます。それぞれの図形は,
\bigtriangleup{\mathrm{OAC}}\cdots頂角がx, 2辺が1の二等辺三角形,
扇形\bigtriangleup{\mathrm{OAC}}\cdots半径1,中心角x,
\bigtriangleup{\mathrm{OAB}}\cdots直角を挟む2辺が, 1, \tan xの直角三角形
となっており, これらの大小関係を不等式で表して, 極限をとっていきます。

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上の図において, 面積の関係から下の不等式が成立する。
\bigtriangleup{\mathrm{OAC}}<扇形\bigtriangleup{\mathrm{OAC}}<\bigtriangleup{\mathrm{OAB}}
ここで, それぞれ面積を求めると,
\bigtriangleup{\mathrm{OAC}}=\dfrac12\cdot1\cdot1\cdot\sin x=\dfrac12\sin x
扇形\mathrm{OAC}=\dfrac12\cdot1^2\cdot x=\dfrac12 x
\bigtriangleup{\mathrm{OAB}}=\dfrac12\cdot1\cdot\tan x=\dfrac12\tan x
よって, 先の不等式にこれらを代入すると,
\dfrac12\sin x<\dfrac12 x<\dfrac12\tan x
\sin x<x<\tan x
\sin x< x <\dfrac{\sin x}{\cos x}
辺々を\sin xで割ると
1<\dfrac{x}{\sin x}<\dfrac{1}{\cos x}
辺々の逆数をとると,
\cos x<\dfrac{\sin x}{x}<1
ここで,
\displaystyle\lim_{x\to+0}\cos x<\displaystyle\lim_{x\to+0}\dfrac{\sin x}{x}<1
とすると,
\displaystyle\lim_{x\to+0}\cos x=1なので, はさみうちの原理から,
\displaystyle\lim_{x\to+0}\dfrac{\sin x}{x}=1
また,
\dfrac{\sin x}{x}=\dfrac{\sin(-x)}{-x}なので,
\displaystyle\lim_{x\to-0}\dfrac{\sin x}{x}=1
以上より,
\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1
が成り立つ。

グラフってどうなるの?

y=\dfrac{\sin x}{x}のグラフの概形は以下のようになります。試験ではほとんど出てきませんので, 参考までに。大学で学ぶフーリエ変換とかのところでよく出てくるかもしれませんね?グラフはemathで描きました。縦軸と横軸のスケールは変更しています。


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