高校数学：数III極限：ガウス記号と極限(早稲田大)

こんにちは。ガウス記号と極限です。最後関連記事おいておきます。それではどうぞ。

早稲田大学

【問題】実数 $x$ に対し $[ x ]$ を $x-1<[ x ]\leqq 1$ を満たす整数とする。次の極限を求めよ。
(1) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac1n\left[\dfrac{1}{\sin\dfrac1n}\right]$
(2) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n\sqrt{n}}\left(1+[\sqrt2]+[\sqrt3]+\cdots+[\sqrt{n}]\right)$

解答・解説

(1) $x-1<[ x ]\leqq x$ より,
$\dfrac1n\left(\dfrac{1}{\sin\dfrac1n}-1\right)<\dfrac1n\left[\dfrac{1}{\sin\dfrac1n}\right]\leqq\dfrac1n\cdot\dfrac{1}{\sin\dfrac1n}$
が成り立つ。
ここで,
$\begin{array}{lll}\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac1n\left(\dfrac{1}{\sin\dfrac1n}-1\right)&=&\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\dfrac{\dfrac1n}{\sin\dfrac1n}-\dfrac1n\right)\\&=&1-0=1\end{array}$
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac1n\cdot\dfrac{1}{\sin\dfrac1n}=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{\dfrac1n}{\sin\dfrac1n}=1$
よって, はさみうちの原理より,
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac1n\left[\dfrac{1}{\sin\dfrac1n}\right]=1$
(2) $x-1<[ x ]\leqq x\cdots\maru1$ より,
$p_n=\dfrac{1}{n\sqrt{n}}\left((1-1)+(\sqrt2-1)+(\sqrt3-1)+\cdots+(\sqrt{n}-1)\right)$
$q_n=\dfrac{1}{n\sqrt{n}}\left(1+\sqrt2+\sqrt3+\cdots+\sqrt{n}\right)$
とすると, $\maru1$ から,
$p_n<\dfrac{1}{n\sqrt{n}}\left(1+[\sqrt2]+[\sqrt3]+\cdots+[\sqrt{n}]\right)\leqq q_n$
が成り立つ。
$\begin{array}{lll}\displaystyle\lim_{n\to\infty}p_n&=&\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\dfrac{1}{n\sqrt{n}}\sum_{k=1}^n\left(\sqrt{k}-1\right)\\&=&\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\dfrac1n\displaystyle\sum_{k=1}^n\sqrt{\dfrac{k}{n}}-\dfrac{n}{n\sqrt{n}}\right)\\&=&\displaystyle\int_0^1\sqrt x\, dx-0\\&=&\left[\dfrac23x^{\frac32}\right]_0^1\\&=&\dfrac23\end{array}$
$\begin{array}{lll}\displaystyle\lim_{n\to\infty}q_n&=&\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\dfrac{1}{n\sqrt{n}}\sum_{k=1}^n\sqrt{k}\\&=&\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac1n\displaystyle\sum_{k=1}^n\sqrt{\dfrac{k}{n}}\\&=&\displaystyle\int_0^1\sqrt x\, dx\\&=&\left[\dfrac23x^{\frac32}\right]_0^1\\&=&\dfrac23\end{array}$
よって, はさみうちの原理より,
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n\sqrt{n}}\left(1+[\sqrt2]+[\sqrt3]+\cdots+[\sqrt{n}]\right)=\dfrac23$