高校数学：数III積分：微積の融合問題(同志社大)

2024年2月23日

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こんにちは。それでは早速いってみましょう。

同志社大学

【問題】 $e$ を自然数の底とし, 実数 $a$ は $0<a<\dfrac1e$ を満たすとする。関数 $f(x)=xe^{-x}$ とする。次の問いに答えよ。
(1) $x>0$ のとき, 不等式 $e^{x}>1+x+\dfrac{x^2}{2}$ が成り立つことを示せ。
(2) 方程式 $f(x)=a$ が異なる2つの正の実数解をもつことを示せ。
(3) 不定積分 $\displaystyle\int\left\{f(x)\right\}^2\, dx$ を求めよ。
(4) (2)の2つの正の実数解を $p$ . $q\, (p<q)$ とする。2直線 $x=p$ , $x=q$ と曲線 $y=f(x)\, (p\leqq x\leqq q)$ および $x$ 軸で囲まれた部分を $x$ 軸の周りに1回転させてできる立体の体積を $V$ とする。極限 $\displaystyle\lim_{a\to+0} V$ を求めよ。
【同志社大】

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