高校数学：数III微分・グラフの漸近線

こんにちは。今回はグラフの漸近線について書いておきます。理屈を無視した感覚的な解法も載せておきますので, 一読ください。

漸近線の判定

関数 $y=f(x)$ の曲線について

$y$ 軸に垂直な漸近線
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}y=a$ , または, $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}y=a$ が成り立つとき, 直線 $y=a$ は漸近線になる。
$x$ 軸に垂直な漸近線
$\displaystyle\lim_{x\to b+0}y=\infty$ , $\displaystyle\lim_{x\to b+0}y=-\infty$ , $\displaystyle\lim_{x\to b-0}y=\infty$ , $\displaystyle\lim_{x\to b-0}y=-\infty$ のいずれかが成り立つとき, 直線 $x=b$ は漸近線になる。
$x$ 軸に垂直でない漸近線
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\{f(x)-(ax+b)\}=0$ であるならば, 直線 $y=ax+b$ は漸近線になる。
$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\{f(x)-(ax+b)\}=0$ についても同様。
また, $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x}=a$ , $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\{f(x)-ax\}=b$ ならば, $y=ax+b$ が漸近線になる。

問題を見てみよう

【例】次の曲線の漸近線の方程式を求めよ。
$y=\dfrac{x^3}{x^2-4}$

【解答例】
$y=x+\dfrac{4x}{x^2-4}$ と変形できる。
これの分数の項に着目して,
$\displaystyle\lim_{x\to-2-0}y=-\infty$ , $\displaystyle\lim_{x\to-2+0}y=\infty$ ,
$\displaystyle\lim_{x\to 2-0}y=-\infty$ , $\displaystyle\lim_{x\to 2+0}y=\infty$ ,
であるから, $x=-2$ , $x=2$ は漸近線になる。
また,
$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(y-x)=\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{\dfrac{4}{x}}{1-\dfrac{4}{x^2}}=0$ ,
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}(y-x)=\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{\dfrac{4}{x}}{1-\dfrac{4}{x^2}}=0$
なので, $y=x$ は漸近線になる。
以上より漸近線は,
$x=\pm2$ , $y=x$
【理屈を無視するとこう考えられる】
結局, 漸近線はこの値になると困るという値だったり, 一方が0に近づいたとき残った片方が漸近線であったりします。この問題の場合, 分母が0になったら困るので, 分母が0になる値である $x=\pm2$ が漸近線になります。また, $y=x+\dfrac{4x}{x^2-4}$ は, $\dfrac{4x}{x^2-4}$ の分母が大きくなって0に近づけば, $y=x$ が残って, それに近づいていくので, $y=x$ が漸近線になります。感覚的なものですが, つかんでおくと便利です。

【例】関数 $y=x+\dfrac{1}{x}$ の増減, グラフの凹凸, 漸近線を調べて, グラフを描け。

【解答例】

$y'=1-\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{x^2-1}{x^2}=\dfrac{(x+1)(x-1)}{x^2}\cdots\maru1$
$y''=\dfrac{2x}{x^4}=\dfrac{2}{x^3}$ よって $y''=0$ となる点はない。
つまり, 変曲点はない。
$y'=0$ となる点は, $\maru1$ より $x=\pm1$ のときであり, $y$ の増減, グラフの凹凸は次のようになる。

また, $\displaystyle\lim_{x\to+0}y=\infty$ , $\displaystyle\lim_{x\to-0}y=-\infty$ であるから, 漸近線の1つは $y$ 軸である。
さらに,
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}(y-x)=\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x}=0$
$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(y-x)=\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{1}{x}=0$
であるから, もう1つの漸近線は $y=x$ である。
以上よりグラフは以下のようになる。

【理屈を無視するとこう考えられる】
上の問題同様, これも $\dfrac1x$ の分母が0になったら困りますよね。ですから, $x=0$ が漸近線になります。それと, $\dfrac1x$ の分母が大きくなって0に近づくと, $y=x$ だけが残るので, $y=x$ が漸近線になります。こうやって, 感覚的につかんでおくことは大事だと考えます。

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漸近線の判定

問題を見てみよう

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