高校数学:数III微分・グラフの漸近線

こんにちは。今回はグラフの漸近線について書いておきます。

漸近線の判定

漸近線の判定

関数y=f(x)の曲線について

  1. y軸に垂直な漸近線
    \displaystyle\lim_{x\to\infty}y=a, または, \displaystyle\lim_{x\to-\infty}y=aが成り立つとき, 直線y=aは漸近線になる。
  2. x軸に垂直な漸近線
    \displaystyle\lim_{x\to b+0}y=\infty, \displaystyle\lim_{x\to b+0}y=-\infty, \displaystyle\lim_{x\to b-0}y=\infty, \displaystyle\lim_{x\to b-0}y=-\inftyのいずれかが成り立つとき, 直線x=bは漸近線になる。
  3. x軸に垂直でない漸近線
    \displaystyle\lim_{x\to\infty}\{f(x)-(ax+b)\}=0であるならば, 直線y=ax+bは漸近線になる。
    \displaystyle\lim_{x\to-\infty}\{f(x)-(ax+b)\}=0についても同様。
    また, \displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x}=a, \displaystyle\lim_{x\to\infty}\{f(x)-ax\}=bならば, y=ax+bが漸近線になる。

問題を見てみよう

【例】次の曲線の漸近線の方程式を求めよ。
y=\dfrac{x^3}{x^2-4}

【解答例】
y=x+\dfrac{4x}{x^2-4}と変形できる。
これの分数の項に着目して,
\displaystyle\lim_{x\to-2-0}y=-\infty, \displaystyle\lim_{x\to-2+0}y=\infty,
\displaystyle\lim_{x\to 2-0}y=-\infty, \displaystyle\lim_{x\to 2+0}y=\infty,
であるから, x=-2, x=2は漸近線になる。
また,
\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(y-x)=\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{\dfrac{4}{x}}{1-\dfrac{4}{x^2}}=0,
\displaystyle\lim_{x\to\infty}(y-x)=\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{\dfrac{4}{x}}{1-\dfrac{4}{x^2}}=0
なので, y=xは漸近線になる。
以上より漸近線は,
x=\pm2, y=x

【例】関数y=x+\dfrac{1}{x}の増減, グラフの凹凸, 漸近線を調べて, グラフを描け。

【解答例】

y'=1-\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{x^2-1}{x^2}=\dfrac{(x+1)(x-1)}{x^2}\cdots\maru1
y''=\dfrac{2x}{x^4}=\dfrac{2}{x^3}よってy''=0となる点はない。
つまり, 変曲点はない。
y'=0となる点は, \maru1よりx=\pm1のときであり, yの増減, グラフの凹凸は次のようになる。

また, \displaystyle\lim_{x\to+0}y=\infty, \displaystyle\lim_{x\to-0}y=-\inftyであるから, 漸近線の1つはy軸である。
さらに,
\displaystyle\lim_{x\to\infty}(y-x)=\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x}=0
\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(y-x)=\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{1}{x}=0
であるから, もう1つの漸近線はy=xである。
以上よりグラフは以下のようになる。

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