emath：高校数学：数II・数III関数の増減と極値

今回は関数の増減, 極値について書いておきます。

増加関数, 減少関数

【増加関数】
区間 $I$ で定義された関数 $f(x)$ が, $I$ に属する任意の $x$ の値 $x_1$ , $x_2$ に対し,
$x_1<x_2\Longrightarrow f(x_1)<f(x_2)$
が成り立つとき, グラフは右上がりになり, 関数 $f(x)$ は区間 $I$ で増加(単調に増加)するという。このような関数を増加関数という。

【減少関数】
区間 $I$ で定義された関数 $f(x)$ が, $I$ に属する任意の $x$ の値 $x_1$ , $x_2$ に対し,
$x_1<x_2\Longrightarrow f(x_1)>f(x_2)$
が成り立つとき, グラフは右下がりになり, 関数 $f(x)$ は区間 $I$ で減少(単調に減少)するという。このような関数を減少関数という。

【定数関数】
区間 $I$ で定義された関数 $f(x)$ が, $I$ に属する任意の $x$ に対し, 常に一定の値 $k$ をとる。すなわち, $f(x)=k$ であるとき, 関数 $f(x)$ は区間 $I$ で定数であるという。このような関数を定数関数という。

導関数の符号と関数の増減

関数 $f(x)$ が $a\leqq x\leqq b$ で連続, $a<x<b$ で微分可能なとき,
$\maru1$ $a<x<b$ で $f'(x)>0$ ならば, $f(x)$ は $a\leqq x\leqq b$ で増加
$\maru2$ $a<x<b$ で $f'(x)<0$ ならば, $f(x)$ は $a\leqq x\leqq b$ で減少

関数の極値

関数 $f(x)$ が $x=a$ を境目に増加から減少に変わるとき, $f(x)$ は $x=a$ で極大であるといい, $f(a)$ を関数 $f(x)$ の極大値という。また, 関数 $f(x)$ が $x=b$ を境目に減少から増加に変わるとき, $f(x)$ は $x=b$ で極小であるといい, $f(b)$ を関数 $f(x)$ の極小値という。また, 極大値と極小値をまとめて極値という。