emath:高校数学:数II・数III関数の増減と極値

今回は関数の増減, 極値について書いておきます。

増加関数, 減少関数

【増加関数】
区間Iで定義された関数f(x)が, Iに属する任意のxの値x_1, x_2に対し,
x_1<x_2\Longrightarrow f(x_1)<f(x_2)
が成り立つとき, グラフは右上がりになり, 関数f(x)は区間Iで増加(単調に増加)するという。このような関数を増加関数という。

【減少関数】
区間Iで定義された関数f(x)が, Iに属する任意のxの値x_1, x_2に対し,
x_1<x_2\Longrightarrow f(x_1)>f(x_2)
が成り立つとき, グラフは右下がりになり, 関数f(x)は区間Iで減少(単調に減少)するという。このような関数を減少関数という。

【定数関数】
区間Iで定義された関数f(x)が, Iに属する任意のxに対し, 常に一定の値kをとる。すなわち, f(x)=kであるとき, 関数f(x)は区間Iで定数であるという。このような関数を定数関数という。

導関数の符号と関数の増減

関数f(x)a\leqq x\leqq bで連続, a<x<bで微分可能なとき,
\maru1 a<x<bf'(x)>0ならば, f(x)a\leqq x\leqq bで増加
\maru2 a<x<bf'(x)<0ならば, f(x)a\leqq x\leqq bで減少

関数の極値

関数f(x)x=aを境目に増加から減少に変わるとき, f(x)x=aで極大であるといい, f(a)を関数f(x)の極大値という。また, 関数f(x)x=bを境目に減少から増加に変わるとき, f(x)x=bで極小であるといい, f(b)を関数f(x)の極小値という。また, 極大値と極小値をまとめて極値という。

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