TikZ：高校数学：ベクトル・空間ベクトルの基本

今回は空間ベクトルの基本的なことを書いておきます。

空間ベクトル

空間ベクトルも平面ベクトルと同じように, 有向線分の向きと大きさに着目したものを空間ベクトルという。
位置ベクトルの考え方も同様で, 定点Oを基準にして, 点Pの位置は, $\overrightarrow{ \mathstrut p}=\bekutoru{OP}$ と表すことができ, $\overrightarrow{ \mathstrut p}$ を点Oを基準とする点Pの位置ベクトルという。

空間ベクトルの成分と大きさの基本

図のように, 空間内に点A $(x_1, y_1, z_1)$ をとり, $\bekutoru{OA}=\overrightarrow{ \mathstrut a}$ を設ける。このとき, $x_1$ , $y_1$ , $z_1$ のことをそれぞれ, $\overrightarrow{ \mathstrut a}$ の $x$ 成分, $y$ 成分, $z$ 成分といい, $\overrightarrow{ \mathstrut a}=(x_1, y_1, z_1)$ と表す。これを $\overrightarrow{ \mathstrut a}$ の成分表示という。またこのとき, $|\overrightarrow{ \mathstrut a}|=\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}$ である。

空間ベクトルの成分と大きさ

平面ベクトルと同様にできる。
A $(x_1, y_1, z_1)$ , B $(x_2, y_2, z_2)$ とすると,
$\bekutoru{AB}=(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)$
$|\bekutoru{AB}|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$

空間ベクトルの成分計算

平面ベクトルと同様にできる。
$\bullet$ 　 $(x_1, y_1, z_1)\pm(x_2, y_2, z_2)=(x_1\pm x_2, y_1\pm y_2, z_1\pm z_2)$
$\bullet$ 　 $k(x_1, y_1, z_2)=(kx_1, ky_1, kz_1)$ 　 $k$ は実数

空間ベクトルの内積

$\overrightarrow{ \mathstrut a}=(x_1, y_1, z_1)$ , $\overrightarrow{ \mathstrut b}=(x_2, y_2, z_2)$ とすると,
$\overrightarrow{ \mathstrut a}\cdot\overrightarrow{ \mathstrut b}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$
また, 平面ベクトル同様
$\overrightarrow{ \mathstrut a}\cdot\overrightarrow{ \mathstrut b}=|\overrightarrow{ \mathstrut a}||\overrightarrow{ \mathstrut b}|\cos\theta$
が成り立つ。ただし,
$|\overrightarrow{ \mathstrut a}|=\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}$
$|\overrightarrow{ \mathstrut b}|=\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}$
である。