高校数学:数列:定期テスト対策・数学的帰納法

こんにちは。今回は数学的帰納法の問題をやってみます。それでは早速いってみましょう。

問題

【問】不等式
\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2}\geqq\dfrac32-\dfrac{1}{n+1}
が成り立つことを数学的帰納法によって証明せよ。

【解答例】
n=1のとき, (左辺)=1, (右辺)=1で等式が成立
n=kのとき,
\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots+\dfrac{1}{k^2}\geqq\dfrac32-\dfrac{1}{k+1}
が成り立つと仮定すると,
n=k+1のとき,
\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots+\dfrac{1}{k^2}+\dfrac{1}{(k+1)^2}\geqq\dfrac32-\dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{(k+1)^2}\cdots\maru1
となり, \maru1の右辺と, \dfrac32-\dfrac{1}{(k+1)+1}の大小関係を調べると,
\begin{array}{lll}&&\dfrac32-\dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{(k+1)^2}-\left\{\dfrac32-\dfrac{1}{(k+1)+1}\right\}\\&=&-\dfrac{1}{(k+1}+\dfrac{1}{(k+1)^2}+\dfrac{1}{k+2}\\&=&\dfrac{-(k+1)(k+2)+(k+2)+(k+1)^2}{(k+2)(k+1)^2}\\&=&\dfrac{1}{(k+2)(k+1)^2}>0\end{array}
したがって, この結果と\maru1より,
\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots+\dfrac{1}{k^2}+\dfrac{1}{(k+1)^2}\geqq\dfrac32-\dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{(k+1)^2}>\dfrac32-\dfrac{1}{(k+1)+1}
となり, n=k+1のときも成り立つ。
したがってすべての自然数nにおいて題の不等式は成り立つ。

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