高校数学：数列：定期テスト対策・数学的帰納法

こんにちは。今回は数学的帰納法の問題をやってみます。それでは早速いってみましょう。

問題

【問題】不等式
$\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2}\geqq\dfrac32-\dfrac{1}{n+1}$
が成り立つことを数学的帰納法によって証明せよ。

解答　クリックしてください

【解答例】
$n=1$ のとき, (左辺) $=1$ , (右辺) $=1$ で等式が成立
$n=k$ のとき,
$\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots+\dfrac{1}{k^2}\geqq\dfrac32-\dfrac{1}{k+1}$
が成り立つと仮定すると,
$n=k+1$ のとき,
$\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots+\dfrac{1}{k^2}+\dfrac{1}{(k+1)^2}\geqq\dfrac32-\dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{(k+1)^2}\cdots\maru1$
となり, $\maru1$ の右辺と, $\dfrac32-\dfrac{1}{(k+1)+1}$ の大小関係を調べると,
$\begin{array}{lll}&&\dfrac32-\dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{(k+1)^2}-\left\{\dfrac32-\dfrac{1}{(k+1)+1}\right\}\\&=&-\dfrac{1}{(k+1}+\dfrac{1}{(k+1)^2}+\dfrac{1}{k+2}\\&=&\dfrac{-(k+1)(k+2)+(k+2)+(k+1)^2}{(k+2)(k+1)^2}\\&=&\dfrac{1}{(k+2)(k+1)^2}>0\end{array}$
したがって, この結果と $\maru1$ より,
$\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots+\dfrac{1}{k^2}+\dfrac{1}{(k+1)^2}\geqq\dfrac32-\dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{(k+1)^2}>\dfrac32-\dfrac{1}{(k+1)+1}$
となり, $n=k+1$ のときも成り立つ。
したがってすべての自然数 $n$ において題の不等式は成り立つ。

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問題

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