TikZ：高校数学：平面図形：メネラウスの定理の問題

こんにちは。メネラウスの定理を使う問題をやってみましょう。それではどうぞ。

問題

$\bigtriangleup\mathrm{ABC}$ において, 辺 $\mathrm{AB}$ を3等分する点を $\mthrm{A}$ に近い方から順に $\mathrm{D, E}$ とする。さらに, 辺 $\mathrm{AC}$ を $3 : 2$ に内分する点を $\mathrm{F}$ , 線分 $\mathrm{CD}$ と線分 $\mathrm{EF}$ の交点を $\mathrm{H}$ , 線分 $\mathrm{AH}$ の延長線と辺 $\mathrm{BC}$ との交点を $\mathrm{I}$ とする。このとき, 次の問いに答よ。
(1) $\mathrm{DH} : \mathrm{HC}$ の比を求めよ。
(2) $\mathrm{BI} : \mathrm{IC}$ の比を求めよ。
(3) $\mathrm{AH} : \mathrm{HI}$ の比を求めよ。
(4) $\bigtriangleup\mathrm{ABC}$ の面積を $S$ とするとき, $\bigtriangleup\mathrm{EIH}$ の面積を $S$ を用いて表せ。

解答例

【解答例】

(1) △ADCと線分AEで, メネラウスの定理より,
$\dfrac{\mathrm{AE}}{\mathrm{ED}}\cdot\dfrac{\mathrm{DH}}{\mathrm{HC}}\cdot\dfrac{\mathrm{CF}}{\mathrm{FA}}=1$
$\dfrac{2}{1}\cdot\dfrac{\mathrm{DH}}{\mathrm{HC}}\cdot\dfrac{2}{3}=1$
$\dfrac{\mathrm{DH}}{\mathrm{HC}}=\dfrac{3}{4}$
よって, $\mathrm{DH} : \mathrm{HC} = 3 : 4\cdots$ (答)
(2) △BCDと線分AIで, メネラウスの定理より,
$\dfrac{\mathrm{BI}}{\mathrm{IC}}\cdot\dfrac{\mathrm{CH}}{\mathrm{HD}}\cdot\dfrac{\mathrm{DA}}{\mathrm{AB}}=1$
$\dfrac{\mathrm{BI}}{\mathrm{IC}}\cdot\dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{1}{3}=1$
$\dfrac{\mathrm{BI}}{\mathrm{IC}}=\dfrac{9}{4}$
よって, $\mathrm{BI} : \mathrm{IC} = 9 : 4\cdots$ (答)
(3) △ABIと線分CDで, メネラウスの定理より,
$\dfrac{\mathrm{AH}}{\mathrm{HI}}\cdot\dfrac{\mathrm{IC}}{\mathrm{CB}}\cdot\dfrac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DA}}=1$
$\dfrac{\mathrm{AH}}{\mathrm{HI}}\cdot\dfrac{4}{13}\cdot\dfrac{2}{1}=1$
$\dfrac{\mathrm{AH}}{\mathrm{HI}}=\dfrac{13}{8}$
$\mathrm{AH} : \mathrm{HI} = 13 : 8\cdots$ (答)
(4)

$\begin{array}{lll}\bigtriangleup\mathrm{EIH}&=&\dfrac{8}{21}\bigtriangleup\mathrm{AEI}\\&=&\dfrac{8}{21}\cdot\dfrac{2}{3}\bigtriangleup\mathrm{AIB}\\&=&\dfrac{8}{21}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{9}{13}\bigtriangleup\mathrm{ABC}\\&=&\dfrac{16}{91}S\end{array}$
よって, $\bigtriangleup\mathrm{EIH}=\dfrac{16}{91}S\cdots$ (答)

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解答例

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