高校数学：2次関数の場合分けの問題(定期テスト対策)

2023年2月25日

こんにちは。定期テストに出てきそうな場合分けの問題です。それではどうぞ。

問題

$f(x)=x^2+2kx+3k+4$ , $g(x)=-x^2+4kx-10$ について, 次の問いに答よ。
(1) $k$ について場合分けを行い, $0\leqq x\leqq 2$ における $f(x)$ の最小値を求めよ。
(2) $0\leqq x\leqq 2$ を満たすすべての実数 $x$ について, 不等式 $f(x)>0$ が常に成り立つような定数 $k$ の値の範囲を求めよ。
(3) すべての実数 $x$ について, 不等式 $f(x)>g(x)$ が常に成り立つような $k$ の値の範囲を求めよ。

解答

【略解答】
(1)
i) $k\geqq0$ のとき, $f(0)=3k+4$
$3k+4$
ii) $-2\leqq x<0$ のとき, $f(-k)=-k^2+3k+4$
$-k^2+3k+4$
iii) $k<-2$ のとき, $f(2)=7k+8$
$7k+8$
(2)
$k\geqq0$ のとき, $k>-\dfrac43$ となり, 共通範囲は $k\geqq0\cdots\maru1$
$-2\leqq x<0$ のとき, $-1<k<4$ となり, 共通範囲は $-1<k<0\cdots\maru2$
$k<-2$ のとき, $k>-\dfrac87$ となり, 共通範囲はない。
$\maru1, \maru2$ より, $k>-1$ となる。
(3)
( $f(x)-g(x)$ の最小値) $>0$ として考えると,
$k^2-6k-28<0$ が得られ,
$3-\sqrt{37}<k<3+\sqrt{37}$ となる。

詳細解答pdf

問題

解答

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