高校数学：データの分析：仮平均を使った分散・標準偏差の求め方

こんにちは。意外と出題率が高い問題です。それではやっていきましょう。

問題

変量 $x$ のデータが次のように与えられている。
$602,\ 623,\ 574,\ 595,\ 560,\ 574$
いま, $u=\dfrac{x-560}{7}$ として, 新しい変量 $u$ をつくる。
(1) 変量 $u$ を求めよ。
(2) 変量 $u$ の平均, 分散, 標準偏差を求めよ。
(3) 変量 $x$ の平均, 分散, 標準偏差を求めよ。

解答例

【解答例】
(1) 変量 $x$ の各データから560を引いて, 7で割る。
$u= \{ 6, 9, 2, 5, 0, 2 \}$
(2)
平均 $\overline{u}=\dfrac{6+9+2+5+0+2}{6}=4$
2乗の平均 $\overline{u^2}=\dfrac{6^2+9^2+2^2+5^2+0^2+2^2}{6}=25$
よって分散 ${S_u}^2$ は,
${S_u}=\overline{\mathstrut u^2}-\left(\overline{\mathstrut u}\right)^2=25-4^2=9$
よって, 標準偏差 $S_u$ は,
$S_u=\sqrt{{S_u}^2}=3$
以上より, 平均 $\ 4$ , 分散 $\ 9$ , 標準偏差 $\ 3$
(3)
平均は $\overline{u}=4$ を7倍して, 560を足せばいいので,
平均 $\overline{x}=4\times7+560=588$
分散 ${S_u}^2$ はデータを7で割って求めているので, 分散 ${S_x}^2$ は分散 ${S_u}^2$ の $7^2$ 倍になる。よって,
${S_x}^2=7^2{S_u}^2=49\times9=441$
よって, 標準偏差 $S_x$ は,
$S_x=\sqrt{{S_x}^2}=\sqrt{441}=21$
以上より, 平均 $\ 588$ , 分散 $\ 441$ , 標準偏差 $\ 21$

解法のコツ

変量 $x$ を次のように変量 $u$ に変換した場合,
$u=\dfrac{x-b}{a}$
変量 $u$ の平均, 分散, 標準偏差をそれぞれ, $\overline{u},\ {S_u}^2,\ S_u$ , 変量 $x$ の平均, 分散, 標準偏差をそれぞれ, $\overline{x},\ {S_x}^2,\ S_x$ とすると,
$\overline{x}=\overline{u}\times a+b$
${S_x}^2=a^2 {S_u}^2$
$S_x=a S_u$
で与えられる。

問題

解答例

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