高校数学：データの分析：2つに分けた変量から全体の分散を求める方法

こんにちは。頻出系の問題だと思います。それではどうぞ。

問題

30個の値からなるデータがあり, そのうち20個の値の平均値は7で, 分散は5である。残りの10個の値の平均値は4で, 分散は8である。このとき, 次の問いに答えよ。
(1) このデータ全体の平均値を求めよ。
(2) このデータ全体の分散を求めよ。

解答例

【解答例】
(1) 20個のデータ全体の値は $7\times20=140$ , 10個のデータ全体の値は $4\times10=40$ , よって, データ全体では, $140+40=180$ の値となる。したがって, データ全体の平均は $180\div30=6$
$6\cdots$ (答)
(2) 分散＝(2乗の平均)ー(平均の2乗)なので, これを用いて, 全体の2乗の平均を求める。
20個のデータの2乗の平均を $a$ とおくと,
$a-7^2=5$
$a=54\cdots$ (20個のデータの2乗の平均)
したがって, 20個のデータの2乗の和は,
$54\times20=1080\cdots\maru1$
10個のデータの2乗の平均を $b$ とおくと,
$b-4^2=8$
$b=24\cdots$ (10個のデータの2乗の平均)
したがって, 10個のデータの2乗の和は,
$24\times10=240$
よって, データ全体の2乗の和は, $\maru1, \maru2$ より,
$1080+240=1320$
ゆえに, データ全体の分散は,
$\dfrac{1320}{30}-6^2=44-36=8$
$8\cdots$ (答)

解法のコツ

$\maru1$ 2つに分けられたデータの平均からそれぞれの合計を求め, それらを加えて全体の総量とする。それを全体の個数で割って, 平均を求める。
$\maru2$ 分散＝(2乗の平均)ー(平均の2乗)を用いて, 2乗の平均を求めて, 個数をかけて, 2乗の和を求める。2つに分けられたデータそれぞれで行い, 2つを足して全体の2乗の和とする。
$\maru3$ $\maru2$ で求めた2乗の和を全体の個数で割り, 全体の2乗の平均を求め, $\maru1$ の平均の2乗を引いて全体の分散を求める。

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解答例

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