TikZ：高校数学：ベクトル・ベクトルの内積

こんにちは。今回はベクトルの内積について書いておきます。

内積

$\overrightarrow{ \mathstrut 0}$ でない2つのベクトル $\overrightarrow{ \mathstrut a}, \overrightarrow{ \mathstrut b}$ について, 始点を $\mathrm{O}$ として, $\overrightarrow{ \mathstrut a}=\bekutoru{OA}$ , $\overrightarrow{ \mathstrut b}=\bekutoru{OB}$ とするとき, $\theta=\kaku{AOB}$ を, $\overrightarrow{ \mathstrut a}$ と $\overrightarrow{ \mathstrut b}$ のなす角という。ただし, $0\Deg\leqq\theta\leqq180\Deg$ とする。
このとき,
$\overrightarrow{ \mathstrut a}\cdot\overrightarrow{ \mathstrut b}=|\overrightarrow{ \mathstrut a}||\overrightarrow{ \mathstrut b}|\cos\theta\cdots\maru1$
を $\overrightarrow{ \mathstrut a}$ と $\overrightarrow{ \mathstrut b}$ の内積という。
$\overrightarrow{ \mathstrut a}$ または $\overrightarrow{ \mathstrut b}$ が $\overrightarrow{ \mathstrut 0}$ の場合, $\overrightarrow{ \mathstrut a}\cdot\overrightarrow{ \mathstrut b}=0$ とする。
また, 内積 $\overrightarrow{ \mathstrut a}\cdot\overrightarrow{ \mathstrut b}$ は実数である。

また, $\overrightarrow{ \mathstrut a}\cdot\overrightarrow{ \mathstrut b}$ の符号から2つのベクトルのなす角 $\theta$ が, 鋭角か直角か鈍角かがわかる。これは $\maru1$ から $\overrightarrow{ \mathstrut a}\cdot\overrightarrow{ \mathstrut b}$ の符号は $\cos\theta$ の符号と一致するからである。
$\overrightarrow{ \mathstrut a}\cdot\overrightarrow{ \mathstrut b}>0\Longleftrightarrow\cos\theta>0\cdots\theta=$ 鋭角
$\overrightarrow{ \mathstrut a}\cdot\overrightarrow{ \mathstrut b}=0\Longleftrightarrow\cos\theta=0\cdots\theta=90\Deg$
$\overrightarrow{ \mathstrut a}\cdot\overrightarrow{ \mathstrut b}<0\Longleftrightarrow\cos\theta<0\cdots\theta=$ 鈍角

なす角は始点をそろえて考える

ベクトルのなす角は始点をそろえて考える。
下図で $\bekutoru{AB}$ と $\bekutoru{BC}$ がなす角は $60\Deg$ ではない。 $\bekutoru{AB}$ は $\mathrm{A}$ が始点であるが, $\bekutoru{BC}$ は $\mathrm{B}$ が始点である。したがって, この場合, 始点 $\mathrm{B}$ を始点 $\mathrm{A}$ にそろえるよう, $\bekutoru{BC}$ を平行移動させて, $\bekutoru{AD}$ としてなす角を考える。したがって, この場合, $\bekutoru{AB}$ と $\bekutoru{BC}$ のなす角は $120\Deg$ になる。

内積の性質

【内積の成分表示】
$\overrightarrow{ \mathstrut a}=(\, a_1,\, a_2\, )$ , $\overrightarrow{ \mathstrut b}=(\, b_1,\, b_2\, )$ のとき,
$\overrightarrow{ \mathstrut a}\cdot\overrightarrow{ \mathstrut b}=a_1b_1+a_2b_2$
【ベクトルのなす角】
$\overrightarrow{ \mathstrut a}=(\, a_1,\, a_2\, )$ , $\overrightarrow{ \mathstrut b}=(\, b_1,\, b_2\, )$ のとき, この2つのベクトルのなす角 $\theta$ は,
$\cos\theta=\dfrac{\overrightarrow{ \mathstrut a}\cdot\overrightarrow{ \mathstrut b}}{|\overrightarrow{ \mathstrut a}||\overrightarrow{ \mathstrut b}|}=\dfrac{a_1b_1+a_2b_2}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}\cdot\sqrt{b_1^2+b_2^2}}$
ただし, $\overrightarrow{ \mathstrut a}=\overrightarrow{ \mathstrut b}\neq\overrightarrow{ \mathstrut 0}$
$\theta=90\Deg(\cos90\Deg=0)$ のとき, 2つのベクトルは垂直であるといい, 2つのベクトルが平行のとき, $\theta=0\Deg(\cos0\Deg=1), 180\Deg(\cos180\Deg=-1)$ であり, 次式が得られる。
【ベクトルの垂直と平行における内積】
$\overrightarrow{ \mathstrut a}$ , $\overrightarrow{ \mathstrut b}$ 　 $(\overrightarrow{ \mathstrut a}=\overrightarrow{ \mathstrut b}\neq\overrightarrow{ \mathstrut 0})$ において,
$\overrightarrow{ \mathstrut a}\perp\overrightarrow{ \mathstrut b}\Longleftrightarrow\overrightarrow{ \mathstrut a}\cdot\overrightarrow{ \mathstrut b}=0$
$\overrightarrow{ \mathstrut a}//\overrightarrow{ \mathstrut b}\Longleftrightarrow|\overrightarrow{ \mathstrut a}\cdot\overrightarrow{ \mathstrut b}|=|\overrightarrow{ \mathstrut a}||\overrightarrow{ \mathstrut b}|$
ただし,
$\bullet$ 　 $\overrightarrow{ \mathstrut a}\cdot\overrightarrow{ \mathstrut b}=|\overrightarrow{ \mathstrut a}||\overrightarrow{ \mathstrut b}|$ のとき, $\overrightarrow{ \mathstrut a}$ , $\overrightarrow{ \mathstrut b}$ は同じ向きで平行。
$\bullet$ 　 $\overrightarrow{ \mathstrut a}\cdot\overrightarrow{ \mathstrut b}=-|\overrightarrow{ \mathstrut a}||\overrightarrow{ \mathstrut b}|$ のとき, $\overrightarrow{ \mathstrut a}$ , $\overrightarrow{ \mathstrut b}$ は反対向きで平行。
【内積の性質】
$\maru1$ 　 $\overrightarrow{ \mathstrut a}\cdot\overrightarrow{ \mathstrut b}=\overrightarrow{ \mathstrut b}\cdot\overrightarrow{ \mathstrut a}$
$\maru2$ 　 $\overrightarrow{ \mathstrut a}\cdot\overrightarrow{ \mathstrut a}=|\overrightarrow{ \mathstrut a}|^2$
$\maru3$ 　 $|\overrightarrow{ \mathstrut a}\cdot\overrightarrow{ \mathstrut b}|\leqq|\overrightarrow{ \mathstrut a}||\overrightarrow{ \mathstrut b}|$
$\maru4$ 　 $k\left(\overrightarrow{ \mathstrut a}\cdot\overrightarrow{ \mathstrut b}\right)=\left(k\overrightarrow{ \mathstrut a}\right)\cdot\overrightarrow{ \mathstrut b}=\overrightarrow{ \mathstrut a}\cdot\left(k\overrightarrow{ \mathstrut b}\right)$ 　 $k$ は実数
$\maru5$ 　 $\overrightarrow{ \mathstrut a}\cdot\left(\overrightarrow{ \mathstrut b}+\overrightarrow{ \mathstrut c}\right)=\overrightarrow{ \mathstrut a}\cdot\overrightarrow{ \mathstrut b}+\overrightarrow{ \mathstrut a}\cdot\overrightarrow{ \mathstrut c}$ , $\left(\overrightarrow{ \mathstrut b}\cdot\overrightarrow{ \mathstrut c}\right)\cdot\overrightarrow{ \mathstrut a}=\overrightarrow{ \mathstrut a}\cdot\overrightarrow{ \mathstrut b}+\overrightarrow{ \mathstrut a}\cdot\overrightarrow{ \mathstrut c}$
$\maru3$ の証明
$-1\leqq\cos\theta\leqq1$ の各辺に $|\overrightarrow{ \mathstrut a}||\overrightarrow{ \mathstrut b}|$ をかけて,
$-|\overrightarrow{ \mathstrut a}||\overrightarrow{ \mathstrut b}|\leqq|\overrightarrow{ \mathstrut a}||\overrightarrow{ \mathstrut b}|\cos\theta\leqq|\overrightarrow{ \mathstrut a}||\overrightarrow{ \mathstrut b}|$
$\overrightarrow{ \mathstrut a}\cdot\overrightarrow{ \mathstrut b}=|\overrightarrow{ \mathstrut a}||\overrightarrow{ \mathstrut b}|\cos\theta$ なので,
$-|\overrightarrow{ \mathstrut a}||\overrightarrow{ \mathstrut b}|\leqq\overrightarrow{ \mathstrut a}\cdot\overrightarrow{ \mathstrut b}\leqq|\overrightarrow{ \mathstrut a}||\overrightarrow{ \mathstrut b}|$
よって,
$|\overrightarrow{ \mathstrut a}\cdot\overrightarrow{ \mathstrut b}|\leqq|\overrightarrow{ \mathstrut a}||\overrightarrow{ \mathstrut b}|$
が成り立つ。

内積の計算

内積の性質を用いると, 整式の展開と同じように計算できる。
$|\overrightarrow{ \mathstrut a}\pm\overrightarrow{ \mathstrut b}|^2=|\overrightarrow{ \mathstrut a}|^2\pm2\overrightarrow{ \mathstrut a}\cdot\overrightarrow{ \mathstrut b}+|\overrightarrow{ \mathstrut b}|^2$
など

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